Question

1. Напишите формулу общего члена последовательности натуральных чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 1. 2.Последовательность (Xn) задана формулой Xn = -3n - 4. Найдите: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; 3.Последовательность задана формулой = + 5 A) Вычислите первые пять членов этой последовательности. Б) Определите, будет ли число 33 являться членом этой последовательности? В) Найдите самый близкий к числу 95 член этой последовательности.

Answer 1

1. Натуральные числа, которые делятся на 3 без остатка имеют вид 3n, где n ∈ N. Делим 3n на 3 и получаем n без остатка. Чтобы остаток был равен 1, нужно из указанного числа вычесть 2:
3n - 2, где n ∈ N (множеству натуральных чисел)
Для проверки подставляем 1, 2, 3 и т.д. и получаем 1, 4, 7 ...
Ответ: 3n - 2

2. $x_n = -3n - 4$
Просто подставляем в формулы соответствующий индекс:
а) $x_1 = -3*1 - 4 = -7$
б) $x_5 = -3*5 - 4 = -19$
в) $x_{12} = -3*12 - 4 = -40$
г) $x_{100} = -3*100 - 4 = -304$
д) $x_{n+1} = -3*(n+1) - 4 = -3n-3-4 = -3n - 7$

3. $a_n = 7n + 5$
а) Просто берём и подставляем первые 5 индексов в формулу:
$a_1 = 7*1 + 5 = 12 \\ a_2 = 7*2 + 5 = 19 \\ a_3 = 7*3 + 5 = 26 \\ a_4 = 7*4 + 5 = 33 \\ a_5 = 7*5 + 5 = 40$

б) Просто вместо а энного подставляем 33 и решаем получившееся уравнение. Если индекс n будет целым, то число будет принадлежать данной последовательности.
$33 = 7n + 5 \\ 7n = 28 \\ n = 4$
Индекс n число целое, значит, 33 является членом данной последовательности. Что мы и видели, когда делали пункт 3а).

в) Делаем как в предыдущем пункте. Если число 95 не является членом последовательности, то индекс n будет дробный. Тогда округляем по правилам округления, что даст ближайший член.
$95 = 7n + 5 \\ 7n = 90 \\ n = 12 \frac{6}{7} \approx 12,857 \\ \\ n=13 \\ a_{13} = 7*13 + 5 = 96$

Answer 2

1. Последовательность натуральных чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 1, можно записать формулой:

a_n = 3n + 1

Где "a_n" обозначает n-й член последовательности.

2. Последовательность (X_n) задана формулой X_n = -3n - 4. Найдем:

а) X_1: X_1 = -3 * 1 - 4 X_1 = -7

б) X_2: X_2 = -3 * 2 - 4 X_2 = -10

в) X_3: X_3 = -3 * 3 - 4 X_3 = -13

г) X_4: X_4 = -3 * 4 - 4 X_4 = -16

д) X_5: X_5 = -3 * 5 - 4 X_5 = -19

3. Последовательность задана формулой a_n = n^2 + 5.

A) Вычислим первые пять членов этой последовательности, подставив значения n от 1 до 5:

a_1 = 1^2 + 5 = 6 a_2 = 2^2 + 5 = 9 a_3 = 3^2 + 5 = 14 a_4 = 4^2 + 5 = 21 a_5 = 5^2 + 5 = 30

Таким образом, первые пять членов последовательности: 6, 9, 14, 21, 30.

Б) Чтобы определить, будет ли число 33 являться членом этой последовательности, нужно найти такое значение n, при котором a_n = 33. Решим уравнение:

n^2 + 5 = 33

Вычитаем 5 с обеих сторон:

n^2 = 28

Извлекаем квадратный корень:

n = ±√28

n ≈ ±5.29

Так как n - натуральное число, то подходит только n = 5. Таким образом, число 33 будет членом этой последовательности при n = 5.

В) Чтобы найти самый близкий к числу 95 член этой последовательности, подставим различные значения n и найдем значение, наиболее близкое к 95:

n = 1: a_1 = 1^2 + 5 = 6 n = 2: a_2 = 2^2 + 5 = 9 n = 3: a_3 = 3^2 + 5 = 14 n = 4: a_4 = 4^2 + 5 = 21 n = 5: a_5 = 5^2 + 5 = 30 n = 6: a_6 = 6^2 + 5 = 41 n = 7: a_7 = 7^2 + 5 = 54 n = 8: a_8 = 8^2 + 5 = 69 n = 9: a_9 = 9^2 + 5 = 86 n = 10: a_10 = 10^2 + 5 = 105

Наименьшее значение, которое ближе всего к 95, это a_9 = 86.