Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямой y=ax+b и параболой y=ax^2+bx+c 1) y=-x^2-6x-5 y=x1

Answer 1

Надо посчитать определенный интеграл в пределах между точками пересечения прямой и параболы.

Парабола смотрит выпуклостью вверх (отрицательный коэфф. при x квадрат), стало быть считать надо будет интеграл по разности уравнения параболы и прямой:

f = -x^2 -6x -5 - (x+1) = -(x^2 +7x +6) = -(x+1)*(x+6)

Корни этого уравнения -6 и -1, и стало быть определенный интеграл надо считать в пределах от -6 до -1 (где парабола возвышается над прямой).
 
Первообразная интегрируемой функции f выглядит следующим образом:

F = -(1/3)x^3 -(7/2)x^2 -6x

Площадь будет равна S = F(-1) - F(-6)

F(-1) =  1/3 -7/2 +6 = 2.8333
F(-6) =  6*6*6/3 -7*6*6/2 +6*6 = -18

Получается S = 2.8333 - (-18) = 20.8333

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной прямой и параболой, необходимо найти точки пересечения этих двух функций и затем проинтегрировать разницу между ними в пределах этих точек. Таким образом, площадь будет равна модулю этого значения.

Шаг 1: Найдем точки пересечения прямой и параболы:

Уравнение параболы: y = -x^2 - 6x - 5 Уравнение прямой: y = x + 1

Чтобы найти точку пересечения, приравняем два уравнения:

-x^2 - 6x - 5 = x + 1

Шаг 2: Решим уравнение:

Перенесем все члены в одну сторону:

-x^2 - 6x - 5 - x - 1 = 0 -x^2 - 7x - 6 = 0

Шаг 3: Решим квадратное уравнение:

Для этого воспользуемся формулой дискриминанта: D = b^2 - 4ac

a = -1, b = -7, c = -6

D = (-7)^2 - 4 * (-1) * (-6) D = 49 - 24 D = 25

Шаг 4: Найдем корни уравнения:

x = (-b ± √D) / 2a x = (7 ± √25) / 2

x1 = (7 + 5) / 2 x1 = 12 / 2 x1 = 6

x2 = (7 - 5) / 2 x2 = 2 / 2 x2 = 1

Таким образом, точки пересечения прямой и параболы равны x1 = 6 и x2 = 1.

Шаг 5: Вычислим площадь фигуры ограниченной прямой и параболой:

Интеграл площади фигуры S между x1 и x2 равен:

S = ∫(парабола - прямая) dx от x = 1 до x = 6

Для упрощения вычислений, найдем выражения для параболы и прямой через x:

Парабола: y = -x^2 - 6x - 5 Прямая: y = x + 1

Тогда разность между параболой и прямой:

y_diff = (-x^2 - 6x - 5) - (x + 1) y_diff = -x^2 - 7x - 6

Теперь проинтегрируем y_diff по x от x = 1 до x = 6:

S = ∫(-x^2 - 7x - 6) dx от x = 1 до x = 6

S = [(-x^3 / 3) - (7x^2 / 2) - 6x] от x = 1 до x = 6

S = [(-6^3 / 3) - (7 * 6^2 / 2) - 6 * 6] - [(-1^3 / 3) - (7 * 1^2 / 2) - 6 * 1]

S = [(-216 / 3) - (7 * 36 / 2) - 36] - [(-1 / 3) - (7 / 2) - 6]

S = [-72 - 126 - 36] - [-1 - 7 - 6]

S = -234 - (-14)

S = -220

Итак, площадь фигуры, ограниченной прямой y = x + 1 и параболой y = -x^2 - 6x - 5 на интервале от x = 1 до x = 6, равна 220 квадратных единиц. Обратите внимание, что ответ представлен с отрицательным знаком, так как на графике парабола находится ниже прямой на данном интервале.