Question

В результате эксперимента получены 7 значений искомой функции Y при семи значениях аргумента. Используя метод наименьших квадратов, найти функциональную зависимость между X и Y в виде линейной функции y=ax+b . Построить график этой функции, отметить экспериментальные значения.

Answer 1

С начало суммы по
x(i) = 1+2+3+4+5+6+7=28
y(i) = 5.8+4.2+5+4+4.3+2.5+3.5 = 29.3
x(i)^2 = 1^2+2^2+3^3+4^2+5^2+6^2+7^2 = 158
x(i)*y(i) = 5.8+2*4.2+15+16+5*4.3+6*2.5+7*3.5 = 104.4

Система
{158a+28b=104.4
{28a+7b=29.3

Откуда
a=-32/115
b=8531/1610

Уравнение прямой
y=-32x/115+8531/1610

Answer 2

Для того чтобы найти функциональную зависимость между X и Y в виде линейной функции y = ax + b, используем метод наименьших квадратов. Этот метод позволяет найти наилучшие значения коэффициентов a и b, чтобы минимизировать сумму квадратов разностей между экспериментальными значениями Y и предсказанными значениями по линейной функции.

Предположим, у нас есть 7 пар значений (X, Y) из эксперимента:

(X1, Y1) (X2, Y2) (X3, Y3) (X4, Y4) (X5, Y5) (X6, Y6) (X7, Y7)

Задача состоит в том, чтобы найти оптимальные значения a и b для уравнения y = ax + b.

Шаги решения:

Шаг 1: Вычислить средние значения X и Y.

X̄ = (X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7) / 7 Ȳ = (Y1 + Y2 + Y3 + Y4 + Y5 + Y6 + Y7) / 7

Шаг 2: Вычислить суммы квадратов отклонений.

Σ(Xi - X̄)^2 Σ(Yi - Ȳ)^2 Σ(Xi - X̄)(Yi - Ȳ)

Шаг 3: Вычислить коэффициенты a и b.

a = Σ(Xi - X̄)(Yi - Ȳ) / Σ(Xi - X̄)^2 b = Ȳ - a * X̄

Шаг 4: Построить линейную функцию y = ax + b и отметить на графике экспериментальные значения Y.

Теперь приступим к решению. Предположим, что у нас есть следующие значения (X, Y):

(X) (Y) 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8

Шаг 1: Вычислим средние значения X и Y.

X̄ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) / 7 = 4 Ȳ = (2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8) / 7 = 5

Шаг 2: Вычислим суммы квадратов отклонений.

Σ(Xi - X̄)^2 = (1 - 4)^2 + (2 - 4)^2 + (3 - 4)^2 + (4 - 4)^2 + (5 - 4)^2 + (6 - 4)^2 + (7 - 4)^2 = 14 Σ(Yi - Ȳ)^2 = (2 - 5)^2 + (3 - 5)^2 + (4 - 5)^2 + (5 - 5)^2 + (6 - 5)^2 + (7 - 5)^2 + (8 - 5)^2 = 14 Σ(Xi - X̄)(Yi - Ȳ) = (1 - 4)(2 - 5) + (2 - 4)(3 - 5) + (3 - 4)(4 - 5) + (4 - 4)(5 - 5) + (5 - 4)(6 - 5) + (6 - 4)(7 - 5) + (7 - 4)(8 - 5) = 7

Шаг 3: Вычислим коэффициенты a и b.

a = Σ(Xi - X̄)(Yi - Ȳ) / Σ(Xi - X̄)^2 = 7 / 14 = 0.5 b = Ȳ - a * X̄ = 5 - 0.5 * 4 = 3

Таким образом, линейная функция, описывающая зависимость между X и Y, имеет вид: y = 0.5x + 3.

Шаг 4: Построим график этой функции и отметим экспериментальные значения.

Для этого давайте построим график на интервале от X = 0 до X = 8:

pythonCopy code
import matplotlib.pyplot as plt

# Экспериментальные значения
X_values = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]
Y_values = [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]

# Предсказанные значения по линейной функции y = 0.5x + 3
predicted_Y_values = [0.5 * x + 3 for x in X_values]

# Построение графика
plt.plot(X_values, Y_values, 'bo', label='Экспериментальные значения')
plt.plot(X_values, predicted_Y_values, 'r-', label='Линейная функция y = 0.5x + 3')

plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.title('Линейная функция по методу наименьших квадратов')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

На графике синими точками обозначены экспериментальные значения Y, а красная линия представляет собой линейную функцию y = 0.5x + 3, которая проходит через эти точки, как можно заметить.