Question

Найдите площадь фигурой, ограниченной параболой у=3х^2-6х и осью абсцисс.

Answer 1

Найдем абсциссы точек пересечения параболы с Ох:
3х²-6х=0
3х(х-2)=0
х=0; х=2
$S = \int\limits_{0}^2 (-3x^2+6x)dx=(-x^3+3x^2) \Bigg |_0^2 = (-8+12)-0=4$
Ответ: 4.

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой y = 3x^2 - 6x и осью абсцисс (ось x), мы должны вычислить определенный интеграл этой функции на заданном интервале. В данном случае интервал определяется точками пересечения параболы с осью x.

Первым шагом является нахождение точек пересечения параболы с осью x, то есть значения x, при которых y = 0:

0 = 3x^2 - 6x

Для решения этого квадратного уравнения, давайте вынесем общий множитель:

0 = x(3x - 6)

Таким образом, у нас два возможных значения x: x = 0 и 3x - 6 = 0, что дает x = 0 и x = 2.

Теперь мы можем записать площадь фигуры как определенный интеграл от 0 до 2:

Площадь = ∫[0, 2] (3x^2 - 6x) dx

Вычислим интеграл:

Площадь = ∫[0, 2] (3x^2 - 6x) dx Площадь = [x^3 - 3x^2] [от 0 до 2] Площадь = (2^3 - 3 * 2^2) - (0^3 - 3 * 0^2) Площадь = (8 - 12) - (0 - 0) Площадь = -4

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной параболой y = 3x^2 - 6x и осью абсцисс, равна 4 квадратным единицам, причем значение отрицательное, так как парабола лежит ниже оси x на всем промежутке [0, 2]. Отрицательное значение площади говорит о том, что парабола расположена ниже оси x, а значит, она не пересекает ее в указанных пределах.