Question

Найти длину интервала |2x-3| - |x-1| 0

Answer 1

1/ найти корни для выражений под модулем 
2/ на получившихся промежутках
   (два модуля--три промежутка) раскрыть модули по определению
3/ решить три получившиеся системы...
графическая иллюстрация для подтверждения правильности решения))

Answer 2

Для того чтобы найти длину интервала, при котором выражение |2x-3| - |x-1| > 0, нужно решить неравенство.

Начнем с определения интервалов, на которых каждый модуль меняет знак:

1. |2x - 3| будет положительным при: 2x - 3 > 0 => 2x > 3 => x > 3/2. И будет отрицательным при: 2x - 3 < 0 => 2x < 3 => x < 3/2.

2. |x - 1| будет положительным при: x - 1 > 0 => x > 1. И будет отрицательным при: x - 1 < 0 => x < 1.

Теперь посмотрим на различные комбинации знаков модулей и их значения:

1. Когда оба модуля положительны: 2x - 3 > 0 и x - 1 > 0. Решаем систему неравенств: 2x - 3 > 0 => x > 3/2, и x - 1 > 0 => x > 1. Здесь интервал будет от 3/2 и выше, так как оба модуля положительны.

2. Когда оба модуля отрицательны: 2x - 3 < 0 и x - 1 < 0. Решаем систему неравенств: 2x - 3 < 0 => x < 3/2, и x - 1 < 0 => x < 1. Здесь интервал будет до 1, так как оба модуля отрицательны.

3. Когда |2x - 3| положительный, а |x - 1| отрицательный: 2x - 3 > 0 и x - 1 < 0. Решаем систему неравенств: 2x - 3 > 0 => x > 3/2, и x - 1 < 0 => x < 1. Здесь интервал будет между 3/2 и 1.

4. Когда |2x - 3| отрицательный, а |x - 1| положительный: 2x - 3 < 0 и x - 1 > 0. Решаем систему неравенств: 2x - 3 < 0 => x < 3/2, и x - 1 > 0 => x > 1. Этот случай невозможен, так как нет значений x, удовлетворяющих обоим условиям одновременно.

Теперь соберем все интервалы вместе:

Интервал, удовлетворяющий условию |2x - 3| - |x - 1| > 0, это объединение интервалов из пунктов 1 и 3:

Ответ: x принадлежит интервалу (3/2, 1].