Question

Найдите промежутки возрастания функции f(x) = x^3-3x^2-24x+5

Answer 1

Производная: 3 (x^2 - 2 x - 8)
Промежутки возрастания: 3 (x^2 - 2 x - 8)>=0
(x - 4) (x + 2)>=0x>=4, x<=-2. 

Answer 2

Для найти промежутки возрастания функции $f(x) = x^3 - 3x^2 - 24x + 5$, нужно найти значения $x$, при которых производная $f'(x)$ положительна. Промежутками возрастания будут интервалы между этими значениями $x$.

Шаги для нахождения промежутков возрастания:

1. Найдите производную $f'(x)$ функции $f(x)$.
2. Решите неравенство $f'(x) > 0$ для $x$, чтобы найти значения, при которых производная положительна.
3. Из полученных значений $x$ составьте промежутки возрастания функции.

Теперь выполним эти шаги:

Шаг 1: Найдем производную $f'(x)$ функции $f(x)$:

$f'(x) = \frac{d}{dx} (x^3 - 3x^2 - 24x + 5)$

Используем правило дифференцирования для мономов $x^n$:

$f'(x) = 3x^2 - 6x - 24$

Шаг 2: Решим неравенство $f'(x) > 0$ для $x$:

$3x^2 - 6x - 24 > 0$

Выполним факторизацию:

$3(x^2 - 2x - 8) > 0$

Теперь найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 8 = 0$:

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1}$ $x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}$ $x = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2}$ $x = \frac{2 \pm 6}{2}$

Таким образом, получаем два корня $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.

Теперь построим таблицу знаков:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -\infty & -2 & 4 & +\infty \\ \hline 3x^2 - 6x - 24 & - & 0 & + & + \\ \hline \end{array}$$

Шаг 3: Теперь составим промежутки возрастания функции $f(x)$ на основе таблицы знаков:

1. При $x \in (-\infty, -2)$, производная $f'(x)$ отрицательна ($-$), что означает убывание функции $f(x)$ на этом интервале.
2. При $x \in (-2, 4)$, производная $f'(x)$ положительна ($+$), что означает возрастание функции $f(x)$ на этом интервале.
3. При $x \in (4, +\infty)$, производная $f'(x)$ также положительна ($+$), что означает возрастание функции $f(x)$ на этом интервале.

Итак, промежутки возрастания функции $f(x)$ равны $(-2, 4)$ и $(4, +\infty)$.