Question

Решите логарифмическоe неравенства 3^(log2(x²)+2|x|^(log2(9)≤3•(1/3)^(log0,5(2x+3))

Answer 1

Решение смотрите на фотографии

Answer 2

Для решения данного логарифмического неравенства, нужно выполнить следующие шаги:

1. Преобразовать логарифмические выражения в алгебраические.
2. Решить полученное алгебраическое неравенство.

Давайте начнем с первого шага:

1. Преобразование логарифмических выражений в алгебраические:

Мы знаем, что для всех положительных x, log_b(x) = y эквивалентно b^y = x.

a) Первое логарифмическое выражение: 3^(log2(x^2)) = x^2 (при условии, что x > 0)

b) Второе логарифмическое выражение: 2|x|^(log2(9)) = 2|x|^2 = 2 * 9^log2(|x|) = 2 * |x|^2 = 2x^2 (при условии, что x > 0)

Теперь неравенство примет вид: x^2 + 2x^2 ≤ 3 * (1/3)^(log0.5(2x + 3))

2. Решение алгебраического неравенства:

Упростим правую часть: 3 * (1/3)^(log0.5(2x + 3)) = 3 * (2x + 3)^(-log0.5(3)) = 3 * (2x + 3)^(-1/log2(3))

Теперь у нас есть неравенство: 3x^2 ≤ 3 * (2x + 3)^(-1/log2(3))

Для решения неравенства, сначала заметим, что оба его выражения положительны (x^2 и (2x + 3)^(-1/log2(3)) являются положительными для всех положительных x).

Теперь можем делить обе стороны неравенства на 3: x^2 ≤ (2x + 3)^(-1/log2(3))

Так как левая сторона является положительным квадратом, а правая сторона - положительной степенью (2x + 3), которая всегда положительна, то мы можем возвести обе стороны в квадрат без изменения знака неравенства:

x^4 ≤ ((2x + 3)^(-1/log2(3)))^2

x^4 ≤ (2x + 3)^(-2/log2(3))

Теперь у нас есть квадратное неравенство. Для решения давайте приведем его к одной стороне:

x^4 - (2x + 3)^(-2/log2(3)) ≤ 0

Так как это квадратное неравенство, то мы можем попробовать найти его корни и определить знак на каждом интервале.

Для упрощения вычислений заменим (2x + 3)^(-2/log2(3)) на u:

x^4 - u ≤ 0

Теперь найдем корни уравнения u:

u = (2x + 3)^(-2/log2(3))

u = 0 не имеет решений, так как (2x + 3)^(-2/log2(3)) всегда положительно.

x^4 - (2x + 3)^(-2/log2(3)) = 0

Теперь определим интервалы и знак на каждом из них:

1. Когда 2x + 3 > 0 (x > -1.5): В этом интервале (2x + 3)^(-2/log2(3)) всегда положительно, и неравенство x^4 - (2x + 3)^(-2/log2(3)) ≤ 0 не выполняется. Здесь неравенство не имеет решений.

2. Когда 2x + 3 < 0 (x < -1.5): В этом интервале (2x + 3)^(-2/log2(3)) всегда положительно, и неравенство x^4 - (2x + 3)^(-2/log2(3)) ≤ 0 также не выполняется. Здесь неравенство не имеет решений.

Таким образом, исходное логарифмическое неравенство не имеет решений в действительных числах.