Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x²-5x+6 и y=0

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя функциями, нужно найти точки их пересечения и вычислить интеграл от разности этих функций в пределах этих точек. В данном случае, площадь фигуры будет равна модулю этого интеграла.

Сначала найдем точки пересечения линий y = x² - 5x + 6 и y = 0, то есть значения x, при которых y равно 0:

x² - 5x + 6 = 0

Для решения этого уравнения используем факторизацию:

(x - 2)(x - 3) = 0

Отсюда получаем два корня:

x₁ = 2 x₂ = 3

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями, нужно вычислить следующий интеграл:

Площадь = ∫(|y - 0|) dx в пределах от x₁ до x₂

Поскольку наша фигура находится ниже оси x, то выражение |y - 0| равно просто y:

Площадь = ∫(y) dx в пределах от x₁ до x₂

Теперь вычислим данный интеграл:

Площадь = ∫(x² - 5x + 6) dx в пределах от 2 до 3

Интегрируем каждый член по отдельности:

∫(x²) dx = (x³ / 3) + C₁, где C₁ - произвольная постоянная

∫(-5x) dx = (-5x² / 2) + C₂, где C₂ - еще одна произвольная постоянная

∫(6) dx = 6x + C₃, где C₃ - еще одна произвольная постоянная

Теперь применяем пределы интегрирования:

Площадь = [(3³ / 3) + C₁ - (2³ / 3) - C₁] + [(-5 * 3² / 2) + C₂ - (-5 * 2² / 2) - C₂] + [6 * 3 + C₃ - 6 * 2 - C₃]

Постоянные C₁, C₂ и C₃ сокращаются:

Площадь = [(27/3) - (8/3)] + [(-45/2) - (-20/2)] + [18 - 12]

Площадь = [19/3] + [-25/2] + [6]

Теперь приводим к общему знаменателю:

Площадь = [(38 - 75 + 36) / 6] = [-1 / 6]

Модуль площади фигуры равен абсолютной величине этого числа, поэтому окончательный ответ:

|Площадь| = 1/6

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x² - 5x + 6 и y = 0, составляет 1/6 квадратных единицы.