Question

2 корня из 2 sin (x+ п/6) - cos 2x= корень из 6 sin x + 1 найдите точки на отрезке 5п/2; 4п

Answer 1

2√2sin (x+(π/6)) - cos2x=√6 sin x + 1 .

Так как sin (x+(π/6)) =sinxcos(π/6)+cosxsin(π/6)=(√3/2)sinx+(1/2)cosx, то

уравнение принимает вид:

2√2(√3/2)sinx+2√2(1/2)cosx=√6 sin x + 1 ⇒

√6 sin x+√2cosx-cos2x=√6 sin x + 1 .

Так как сos2x=2cos²2x-1, то уравнение примет вид:

√2cosx-2cos²x+1=1

cosx(√2-2cosx)=0

cosx=0 или √2 - 2cosx=0

x=(π/2)+πk, k∈Z или

cosx=√2/2

x=±(π/4)+2πn, n∈Z

О т в е т. (π/2)+πk; ±(π/4)+2πn, k, n∈Z

5π/2; 7π/2 и (-π/4)+4π=15π/4 - корни, принадлежащие отрезку [5π/2; 4π]

Answer 2

Для решения данного уравнения требуется найти значения угла x, которые удовлетворяют данному равенству. Для начала, давайте перепишем уравнение и упростим его:

$2 \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) - \cos 2x = \sqrt{6} \sin x + 1$

Чтобы решить уравнение на заданном интервале, давайте найдем значения угла x на отрезке $\frac{5\pi}{2}$ до $4\pi$. Это означает, что $x$ должен быть между $\frac{5\pi}{2}$ и $4\pi$.

Для начала, выразим $\cos 2x$ через $\sin x$:

$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$

Теперь заменим $\cos 2x$ в исходном уравнении:

$2\sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) - (1 - 2\sin^2 x) = \sqrt{6} \sin x + 1$

Далее, давайте приведем все к общему знаменателю и упростим уравнение:

$2\sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) + 2\sin^2 x = \sqrt{6} \sin x + 2$

Теперь давайте приведем подобные слагаемые:

$2\sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) + 2\sin^2 x - \sqrt{6} \sin x - 2 = 0$

Вынесем общий множитель за скобки:

$2\left( \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) + \sin^2 x - \frac{\sqrt{6}}{2} \sin x - 1 \right) = 0$

Теперь давайте решим уравнение в скобках:

$\sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) + \sin^2 x - \frac{\sqrt{6}}{2} \sin x - 1 = 0$

Заменим $\sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right)$ через $\sin x$ и $\cos x$:

$\sqrt{2} \left( \sin x \cos \frac{\pi}{6} + \cos x \sin \frac{\pi}{6} \right) + \sin^2 x - \frac{\sqrt{6}}{2} \sin x - 1 = 0$

Упростим:

$\sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x \right) + \sin^2 x - \frac{\sqrt{6}}{2} \sin x - 1 = 0$