Question

Решить интеграл {sin^2(5x-1)dx Посмотреть ответы NNNLLL54 NNNLLL54 Применяется формула понижения степени: hello93 hello93 Решение на фотографии

Answer 1

Для решения данного интеграла, воспользуемся формулой понижения степени для тригонометрических функций:

$\sin^2(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2x)$

Затем заменим $x$ на $5x-1$:

$\sin^2(5x-1) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2(5x-1))$

Теперь мы можем проинтегрировать каждую из составляющих функций:

$\int \sin^2(5x-1) \, dx = \int \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos(2(5x-1))\right) \, dx$

$= \int \frac{1}{2} \, dx - \int \frac{1}{2}\cos(10x-2) \, dx$

$= \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\int \cos(10x-2) \, dx$

Теперь проинтегрируем $\cos(10x-2)$. Для этого сделаем замену $u = 10x - 2$:

$du = 10 \, dx \Rightarrow dx = \frac{du}{10}$

$\int \cos(10x-2) \, dx = \int \cos(u) \cdot \frac{du}{10} = \frac{1}{10} \int \cos(u) \, du$

$= \frac{1}{10} \sin(u) + C = \frac{1}{10} \sin(10x-2) + C$

Теперь вернемся к исходному интегралу:

$\int \sin^2(5x-1) \, dx = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{10} \sin(10x-2)\right) + C$

где $C$ — произвольная постоянная интегрирования.

Надеюсь, это поможет! Если у вас остались вопросы или нужна дополнительная помощь, пожалуйста, дайте знать.