Question

Найти площадь фигуры отсекаемой от параболы y=3x-x^2 прямой 5x-y-8=0

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры, отсекаемой от параболы y = 3x - x^2 прямой 5x - y - 8 = 0, нужно сначала найти точки их пересечения, а затем вычислить площадь этой фигуры.

1. Найдем точки пересечения параболы и прямой: Для этого приравняем уравнения и решим систему уравнений: 3x - x^2 = 5x - 8

Перенесем все в одну сторону и получим уравнение квадратного полинома: x^2 + 2x - 8 = 0

2. Решим это уравнение квадратного полинома: Для этого используем квадратное уравнение: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

a = 1, b = 2, c = -8

x = (-2 ± √(2^2 - 4 * 1 * -8)) / 2 * 1 x = (-2 ± √(4 + 32)) / 2 x = (-2 ± √36) / 2 x = (-2 ± 6) / 2

Таким образом, получаем две точки пересечения: x1 = (-2 + 6) / 2 = 2 x2 = (-2 - 6) / 2 = -4

3. Теперь найдем соответствующие значения y для каждой из этих точек, подставив x в уравнение параболы: y1 = 3 * 2 - 2^2 = 6 - 4 = 2 y2 = 3 * (-4) - (-4)^2 = -12 - 16 = -28

Таким образом, точки пересечения: (2, 2) и (-4, -28).

4. Теперь находим площадь фигуры между параболой и прямой. Это можно сделать с помощью интеграла, но так как у нас есть прямые границы, можем воспользоваться геометрическим методом.

Площадь фигуры равна модулю разности интегралов функций y = 3x - x^2 и y = 5x - 8 на интервале между x1 и x2.

Площадь = | ∫(3x - x^2) dx - ∫(5x - 8) dx | по интервалу [x1, x2]

Вычислим интегралы: ∫(3x - x^2) dx = (3/2)x^2 - (1/3)x^3 + C1 ∫(5x - 8) dx = (5/2)x^2 - 8x + C2

Теперь вычислим разность интегралов: (3/2)x^2 - (1/3)x^3 - (5/2)x^2 + 8x = -(1/3)x^3 + (1/2)x^2 + 8x

Теперь подставим пределы интегрирования: Площадь = | [-(1/3)x^3 + (1/2)x^2 + 8x] от x1 до x2 |

Площадь = | [-(1/3)(2)^3 + (1/2)(2)^2 + 8(2)] - [-(1/3)(-4)^3 + (1/2)(-4)^2 + 8(-4)] |

Площадь = | [-(8/3) + 2 + 16] - [-(64/3) + 8 - 32] |

Площадь = | (26/3) - (40/3) |

Площадь = | -14/3 |

Площадь = 14/3 ≈ 4.67

Таким образом, площадь фигуры, отсекаемой от параболы y = 3x - x^2 прямой 5x - y - 8 = 0, составляет приблизительно 4.67 квадратных единиц.