Question

(cosa/cos5a - sina/sin5a)× cos8a -cos12A/sin4a Помогите решить тригонометрию

Answer 1

Наверное будет

тангенс 3 а

Answer 2

Давайте решим выражение по шагам. Для упрощения обозначений, заменим a на x:

Выражение: (cos(x)/cos(5x) - sin(x)/sin(5x)) × cos(8x) - cos(12x)/sin(4x)

Шаг 1: Общий знаменатель для дробей Найдем общий знаменатель для дробей (cos(5x) и sin(5x)), это будет sin(5x) * cos(5x) (по формуле sin(2x) = 2sin(x)cos(x)):

= (cos(x)*sin(5x) - sin(x)*cos(5x)) / (sin(5x)*cos(5x)) × cos(8x) - cos(12x)/sin(4x)

Шаг 2: Тригонометрические тождества Теперь воспользуемся тригонометрическими тождествами:

sin(α - β) = sin(α)cos(β) - cos(α)sin(β) sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β)

Приравняем числитель к sin(4x):

= sin(4x) / (sin(5x)*cos(5x)) × cos(8x) - cos(12x)/sin(4x)

Шаг 3: Переписываем sin(4x) и cos(12x) через sin(2x) и cos(2x)

sin(4x) = 2sin(2x)cos(2x) cos(12x) = cos(2(6x)) = 2cos^2(6x) - 1 (по формуле cos(2α) = 2cos^2(α) - 1)

Теперь перепишем выражение:

= (2sin(2x)cos(2x)) / (sin(5x)*cos(5x)) × cos(8x) - (2cos^2(6x) - 1) / sin(4x)

Шаг 4: Перепишем cos(8x) через cos(2x)

cos(8x) = cos(2(4x)) = 2cos^2(4x) - 1 (по формуле cos(2α) = 2cos^2(α) - 1)

Теперь выражение выглядит следующим образом:

= (2sin(2x)cos(2x)) / (sin(5x)*cos(5x)) × (2cos^2(4x) - 1) - (2cos^2(6x) - 1) / sin(4x)

Шаг 5: Перепишем sin(5x) и cos(5x) через sin(2x) и cos(2x)

sin(5x) = sin(3x + 2x) = sin(3x)cos(2x) + cos(3x)sin(2x) cos(5x) = cos(3x + 2x) = cos(3x)cos(2x) - sin(3x)sin(2x)

Теперь можно подставить значения sin(5x) и cos(5x) в исходное выражение:

= (2sin(2x)cos(2x)) / ((sin(3x)cos(2x) + cos(3x)sin(2x))(cos(3x)cos(2x) - sin(3x)sin(2x))) × (2cos^2(4x) - 1) - (2cos^2(6x) - 1) / sin(4x)

Шаг 6: Упрощение и сокращение

Для упрощения уберем общий множитель 2:

= sin(2x) / ((sin(3x)cos(2x) + cos(3x)sin(2x))(cos(3x)cos(2x) - sin(3x)sin(2x))) × (2cos^2(4x) - 1) - (cos^2(6x) - 1/2) / sin(4x)

Теперь можно заметить, что в числителе выражения (2cos^2(4x) - 1) есть разность квадратов:

= sin(2x) / ((sin(3x)cos(2x) + cos(3x)sin(2x))(cos(3x)cos(2x) - sin(3x)sin(2x))) × ((√2cos(4x) + 1)(√2cos(4x) - 1)) - (cos^2(6x) - 1/2) / sin(4x)

Можем сократить (√2cos(4x) + 1) и (√2cos(4x) - 1):

= sin(2x) / ((sin(3x)cos(2x) + cos(3x)sin(2x))(cos(3x)cos(2x) - sin(3x)sin(2x))) × (√2cos(4x) - 1) - (cos^2(6x) - 1/2) / sin(4x)

Шаг 7: Применение тригонометрических тождеств

cos(2x) = 1 - 2sin^2(x) sin(2x) = 2sin(x)cos(x) cos(3x) = 4cos^3(x) - 3cos(x) sin(3x) = 3sin(x) - 4sin^3(x)

Подставим значения в выражение:

= 2sin(x)cos(x) / ((3sin(x) - 4sin^3(x))(1 - 2sin^2(x))((4cos^3(x) - 3cos(x))(1 - 2sin^2(x)) - (3sin(x) - 4sin^3(x))2sin(x)cos(x))) × (√2(1 - 2sin^2(x)) - 1) - ((4cos^3(2x) - 3cos(2x))^2 - 1/2) / (2sin(2x)cos(2x))

Теперь можем упростить это