Question

Помогите решить неравенство: 2log_x-2 ((x^2+5x-14)/x)^2)+log_x-2 ((x+7)/x)<=9

Answer 1

.....................................................

Answer 2

Для решения данного неравенства, начнем с упрощения выражений под логарифмами. Затем применим логарифмические свойства и найдем интервалы, удовлетворяющие неравенству.

Дано неравенство:

2log_x-2 ((x^2+5x-14)/x)^2 + log_x-2 ((x+7)/x) <= 9

1. Упростим выражения под логарифмами: a) (x^2 + 5x - 14) / x = (x + 7)(x - 2) / x b) (x + 7) / x = 1 + 7 / x

2. Перепишем неравенство с учетом упрощенных выражений:

2log_x-2 ((x + 7)(x - 2) / x)^2 + log_x-2 (1 + 7 / x) <= 9

3. Применим логарифмические свойства: a) log_a (b^c) = c * log_a (b) b) log_a (bc) = log_a (b) + log_a (c)

Теперь неравенство выглядит так:

log_x-2 ((x + 7)(x - 2) / x)^4 + log_x-2 (1 + 7 / x) <= 9

4. Объединим логарифмы в один:

log_x-2 (((x + 7)(x - 2) / x)^4 * (1 + 7 / x)) <= 9

5. Используем свойство логарифма: если log_a (b) <= c, то a^c >= b

(((x + 7)(x - 2) / x)^4 * (1 + 7 / x)) <= x^(9)

6. Упростим левую часть:

((x + 7)(x - 2))^4 / x^4 * (1 + 7 / x) <= x^9

7. Уберем дроби, возведя обе части неравенства в четвертую степень:

((x + 7)(x - 2))^4 * (1 + 7 / x)^4 <= x^(9 * 4)

((x + 7)(x - 2))^4 * (1 + 7 / x)^4 <= x^36

8. Упростим левую часть:

((x + 7)(x - 2))^4 * (1 + 7 / x)^4 = ((x^2 + 5x - 14))^4 * (1 + 7 / x)^4

9. Теперь у нас есть:

((x^2 + 5x - 14))^4 * (1 + 7 / x)^4 <= x^36

10. Рассмотрим два случая:

a) x > 0: В этом случае можно избавиться от модуля, возведя обе части неравенства в 1/4 степени (корень четвертой степени):

scssCopy code
  (x^2 + 5x - 14) * (1 + 7 / x) <= x^9

  Раскроем скобки:

  x^2 + 5x - 14 + 7x <= x^9

  x^9 - x^2 - 12x + 14 >= 0

b) x < 0: В этом случае модуль становится отрицательным, и мы должны поменять знак неравенства:

scssCopy code
  -(x^2 + 5x - 14) * (1 + 7 / x) <= x^9

  Аналогично раскрываем скобки и приводим к неравенству:

  x^9 - x^2 - 12x + 14 <= 0

Теперь нужно решить оба неравенства отдельно для обоих случаев (x > 0 и x < 0). Это может быть сделано численно или графически.