Question

Log_2(x)-2log_x(2)+1<=0 Log неравенства помогите решить

Answer 1

Решение на фотографии

Answer 2

Я могу помочь вам решить логарифмическое неравенство. Вот подробный ответ:

Перепишем неравенство в виде $$\log_2(x)-\log_{x^2}(2)+1\leq 0$$

Применим свойство логарифма $$\log_a(b)=\frac{\log_c(b)}{\log_c(a)}$$

Получим $$\log_2(x)-\frac{\log_2(2)}{\log_2(x^2)}+1\leq 0$$

Упростим $$\log_2(x)-\frac{1}{2\log_2(x)}+1\leq 0$$

Домножим на $$2\log_2(x)$$ и перенесем все в левую часть

$$2\log_2^2(x)-1-2\log_2(x)\leq 0$$

Заменим $$\log_2(x)=t$$ и получим квадратное неравенство

$$2t^2-2t-1\leq 0$$

Найдем дискриминант $$D=(-2)^2-4\cdot 2\cdot (-1)=12$$

Найдем корни $$t_1=\frac{2-\sqrt{12}}{4}$$ и $$t_2=\frac{2+\sqrt{12}}{4}$$

Найдем интервалы, на которых неравенство выполняется

$$t\in \left[\frac{2-\sqrt{12}}{4},\frac{2+\sqrt{12}}{4}\right]$$

Вернемся к исходной переменной $$x$$

$$\log_2(x)\in \left[\frac{2-\sqrt{12}}{4},\frac{2+\sqrt{12}}{4}\right]$$

Применим экспоненту к обеим частям неравенства

$$x\in \left[2^{\frac{2-\sqrt{12}}{4}},2^{\frac{2+\sqrt{12}}{4}}\right]$$

Округлим до трех знаков после запятой

$$x\in \left[0.585,2.378\right]$$

Это и есть ответ. Надеюсь, это было полезно. Если у вас есть другие вопросы по математике, я готов помочь.Ответь+подробно.+Log_2(x)-2log_x(2)+1<=0+Log+неравенства+помогите+решить