Question

Докажите, что число √2 является корнем многочлена: -x^4+3x^3-6x+4. Докажите, что число √3 не является корнем многочлена: x^5-x^3-6x+1.

Answer 1

Т.к
Пусть f(x)=-x⁴+3x³-6x+4

f(✓2)= -(✓2)⁴ +3(✓2)³-6(✓2)+4 =
= -4+6✓2-6✓2+4=0
поэтому ✓2 является корнем многочлена:
-x⁴+3x³-6x+4
Пусть g(x)=x^5-x^3-6x+1.
т.к.
g(✓3)= (✓3)^5-(✓3)^3-6*(✓3)+1=9✓5-3✓5-6✓3+1=1≠0, то √3 не является корнем многочлена: x^5-x^3-6x+1.

Answer 2

Для доказательства, что число √2 является корнем многочлена -x^4 + 3x^3 - 6x + 4, нужно показать, что подставление √2 в многочлен приводит к равенству нулю.

1. Доказательство для √2: Подставим √2 в многочлен -x^4 + 3x^3 - 6x + 4:

-(√2)^4 + 3(√2)^3 - 6(√2) + 4 -2^2 + 3(2√2) - 6√2 + 4 -4 + 6√2 - 6√2 + 4 -4 + 4 0

Таким образом, получаем значение 0, что означает, что √2 является корнем многочлена -x^4 + 3x^3 - 6x + 4.

2. Доказательство для √3: Подставим √3 в многочлен x^5 - x^3 - 6x + 1:

(√3)^5 - (√3)^3 - 6√3 + 1 3√3 - 3√3 - 6√3 + 1 0 - 0 - 6√3 + 1 -6√3 + 1

Таким образом, получаем значение -6√3 + 1, которое не равно 0. Это означает, что √3 не является корнем многочлена x^5 - x^3 - 6x + 1.

Вывод: √2 является корнем многочлена -x^4 + 3x^3 - 6x + 4, а √3 не является корнем многочлена x^5 - x^3 - 6x + 1.