Question

Найдите все значения параметра а, при котором уравнение  имеет на отрезке [0; 2,5] только три различных корня.

Answer 1

$cos^2x-(2a+3)cosx=0\\ cosx(cosx-2a-3)=0\\ \\ cosx=0\\ x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k; \ k\in Z$

что уже дает три корня на заданном отрезке (π/2, 3π/2, 5π/2)

Значит уравнение

$cosx=2a+3$

не должно иметь корней на промежутке [0; 2,5π]

Рассмотрим 3 случая

1)

Допустим, уравнение cosx=2a+3 не имеет решение вообще. Такое произойдет при

$-1>2a+3>1\\ -4>2a>-2\\ -2>a>-1$

так как cosx∈[-1; 1]

2)

Корни имеет, но не имеет решение именно на промежутке [0; 2,5π]. Такой вариант невозможен в связи с периодом функции 2π.

3)

Корни уравнения cosx=2a+3 совпадают с корнями уравнения cosx=0

2a+3=0

a=-1,5

Ответ: a∈(-∞; -2)U[-1,5]U(-1; +∞)

Answer 2

Чтобы найти значения параметра а, при которых уравнение имеет на отрезке [0; 2,5] только три различных корня, нужно рассмотреть, как изменяется количество корней уравнения при различных значениях параметра.

Данное уравнение не указано, поэтому давайте предположим, что у нас имеется квадратное уравнение вида:

ax^2 + bx + c = 0

где параметр а может принимать различные значения. Здесь a, b и c - коэффициенты, их значения не важны для решения задачи. Для удобства будем обозначать дискриминант как D:

D = b^2 - 4ac

Три различных корня уравнения будут существовать, если дискриминант D будет положительным, а квадратное уравнение имеет два различных вещественных корня. Отметим, что корни могут быть только вещественными, так как отрезок [0; 2,5] предполагает действительные значения x.

Таким образом, условие для существования трех различных корней на отрезке [0; 2,5] будет:

1. D > 0 (дискриминант положителен)
2. Корни лежат на отрезке [0; 2,5]

Для выполнения первого условия D > 0, у квадратного уравнения должны быть два различных вещественных корня.

Для выполнения второго условия, корни должны лежать в пределах отрезка [0; 2,5].

Поскольку нам не дано конкретное уравнение, мы не можем точно найти значения параметра а, при которых уравнение будет иметь три различных корня на отрезке [0; 2,5]. Но вы можете использовать указанные условия для анализа конкретного уравнения и определения требуемых значений параметра а в этом уравнении.