Question

Доказать тождество(правая часть должна быть равна левой) sin^6(x)+cos^6(x)+3sin^2(x)*cos^2(x)=1

Answer 1

${ (\sin(x) )}^{6} + { (\cos(x)) }^{6} + 3 {( \sin(x) )}^{2} \times {( \cos(x) )}^{2} = 1$

Воспользуемся формулой:

а³ + b³ = ( a + b )( a² - ab + b² ) - сумма кубов

${ ({( \sin(x))}^{2}) }^{3} + { ({ (\cos(x) )}^{2}) }^{3} + 3sin²x × cos²x = ( {( \sin(x) )}^{2} + { (\cos(x) )}^{2} ) \times ( { (\sin(x)) }^{4} - {( \sin(x) )}^{2} {( \cos(x)) }^{2} + { (\cos(x)) }^{4} ) + \\ \\ + 3 { (\sin(x)) }^{2} {( \cos(x)) }^{2} = { (\sin(x) )}^{4} + 2 { (\sin(x)) }^{2} { (\cos(x)) }^{2} + { (\cos(x) )}^{4} = \\ \\ = { ({ (\sin(x) )}^{2} + { (\cos(x)) }^{2} ) }^{2} = {1}^{2} = 1$

Тождество доказано

Answer 2

Для доказательства данного тождества воспользуемся тригонометрическими тождествами и алгеброй.

Начнем с правой части и преобразуем ее:

Правая часть: 1

Теперь рассмотрим левую часть:

sin^6(x) + cos^6(x) + 3sin^2(x) * cos^2(x)

Мы знаем, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1 (тождество Пифагора). Теперь воспользуемся формулой (a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b):

(sin^2(x) + cos^2(x))^3 = sin^6(x) + cos^6(x) + 3sin^2(x) * cos^2(x)

Подставим значение sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

1^3 = sin^6(x) + cos^6(x) + 3sin^2(x) * cos^2(x)

1 = sin^6(x) + cos^6(x) + 3sin^2(x) * cos^2(x)

Таким образом, левая часть равна 1, как и правая часть. Мы доказали тождество:

sin^6(x) + cos^6(x) + 3sin^2(x) * cos^2(x) = 1