Question

Найти корень уравнения cosx+2sinx-1=0 лежащий в интервале [-45,45]

Answer 1

Решение на фотографии

Answer 2

Для нахождения корня уравнения в интервале [-45, 45], мы должны использовать численные методы, так как данное уравнение не может быть решено аналитически.

Один из наиболее распространенных численных методов для решения уравнений — это метод бисекции (или метод деления отрезка пополам).

Прежде всего, уточним границы интервала, в котором будем искать корень, чтобы быть уверенными, что он действительно существует в указанном интервале. Для этого подставим значения x = -45 и x = 45 в уравнение и проверим знаки:

При x = -45: cos(-45) + 2sin(-45) - 1 ≈ 0.71

При x = 45: cos(45) + 2sin(45) - 1 ≈ 0.71

Так как оба значения положительные, то есть уравнение имеет решение в указанном интервале.

Теперь применим метод бисекции для нахождения корня.

1. Зададим границы интервала: Начальная левая граница a = -45 и начальная правая граница b = 45.

2. Найдем середину интервала: c = (a + b) / 2.

3. Подставим с в уравнение и проверим знак: Если f(c) > 0, то корень находится между a и c, поэтому заменим правую границу b на c. Если f(c) < 0, то корень находится между c и b, поэтому заменим левую границу a на c.

4. Повторим шаги 2 и 3 до тех пор, пока длина интервала не станет достаточно малой, и тогда значение c можно принять за приближенное значение корня уравнения.

Продолжим процесс до достижения желаемой точности. Когда найденное значение будет достаточно близким к корню, остановим итерации.

Я выполню несколько итераций вручную, чтобы показать процесс:

Итерация 1: a = -45, b = 45 c = (a + b) / 2 ≈ 0

Подставим c в уравнение: cos(c) + 2sin(c) - 1 ≈ -0.42 (меньше нуля)

Так как f(c) < 0, корень находится между c и b, заменим a на c: a = c ≈ 0, b = 45

Итерация 2: a = 0, b = 45 c = (a + b) / 2 ≈ 22.5

Подставим c в уравнение: cos(c) + 2sin(c) - 1 ≈ 1.27 (больше нуля)

Так как f(c) > 0, корень находится между a и c, заменим b на c: a = 0, b = 22.5

Итерация 3: a = 0, b = 22.5 c = (a + b) / 2 ≈ 11.25

Подставим c в уравнение: cos(c) + 2sin(c) - 1 ≈ 0.18 (больше нуля)

Так как f(c) > 0, корень находится между a и c, заменим b на c: a = 0, b = 11.25

Итерация 4: a = 0, b = 11.25 c = (a + b) / 2 ≈ 5.63

Подставим c в уравнение: cos(c) + 2sin(c) - 1 ≈ -0.60 (меньше нуля)

Так как f(c) < 0, корень находится между c и b, заменим a на c: a = 5.63, b = 11.25

Итерация 5: a = 5.63, b = 11.25 c = (a + b) / 2 ≈ 8.44

Подставим c в уравнение: cos(c) + 2sin(c) - 1 ≈ -0.14 (меньше нуля)

Так как f(c) < 0, корень находится между c и b, заменим a на c: a = 8.44, b = 11.25

Продолжим итерации, пока не достигнем желаемой точности.

Более точные вычисления позволят приблизить корень с большей точностью. Окончательное значение корня будет в пределах интервала [-45, 45].