Question

Первый член геометрической прогрессии равен 5, второй член прогрессии в восемь раз меньше ее пятого члена. Найдите сумму первых пяти членов прогрессии.

Answer 1

Второй член отличается от первого в 8 раз, то есть знаменатель прогрессии равен корню кубическому из 8 или 2. То есть, если начать с 5 получится, что первые пять членов: 5, 10, 20, 40, 80, а их сумма 155 (простым сложением). Или по формуле суммы первых n членов:

S = 5*(2^5-1)/(2-1) = =5*(32-1)/1 = 5*31 = 155

Answer 2

Давайте обозначим первый член геометрической прогрессии как a₁, а её знаменатель (отношение) как q. Таким образом, у нас есть:

a₁ = 5 a₂ = a₁ * q a₅ = a₁ * q⁴ (поскольку пятый член - это второй член, умноженный на q три раза)

Также, согласно условию задачи, второй член прогрессии в восемь раз меньше пятого члена, т.е.:

a₂ = a₅ / 8

Теперь мы можем составить систему уравнений:

a₁ * q = a₂ a₁ * q⁴ = a₅

и подставить значение a₂ из второго уравнения в первое:

a₁ * q = a₅ / 8

Теперь подставим значения a₁ и a₅:

5 * q = (5 * q⁴) / 8

Теперь найдем значение q:

8 * 5 * q = 5 * q⁴

40 * q = 5 * q⁴

8 * q = q⁴

Теперь возведем обе стороны уравнения в четвертую степень:

(8 * q)⁴ = q⁴⁴

8⁴ * q⁴ = q⁴⁴

4096 * q⁴ = q⁴⁴

Теперь разделим обе стороны на q⁴:

4096 = q⁴⁴⁻⁴

Теперь найдем значение q⁴:

q⁴ = 4096⁻⁴

q⁴ = 1/4096

Теперь найдем значение q:

q = √(1/4096) = 1/16

Теперь, когда у нас есть значение q, мы можем найти второй член прогрессии (a₂):

a₂ = a₁ * q = 5 * 1/16 = 5/16

Теперь, чтобы найти сумму первых пяти членов прогрессии (S₅), мы воспользуемся формулой суммы первых n членов геометрической прогрессии:

S₅ = a₁ * (1 - q⁵) / (1 - q)

где n = 5.

Теперь подставим значения:

S₅ = 5 * (1 - (1/16)⁵) / (1 - 1/16)

S₅ = 5 * (1 - 1/1048576) / (15/16)

S₅ = 5 * (1048575/1048576) / (15/16)

S₅ = 5 * 1048575 / 15

S₅ = 349525

Таким образом, сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна 349525.