Question

Знайдіть перший член і знаменник геометричної прогресії кщо b2+b3=30 b4-b2=90

Answer 1

B2+b3=b1q+b1q^2=b1(q+q^2)=30;
b4-b2=b1q^3-b1q=b1(q^3-q)=90;

(q+q^2)
----------- = 30/90;
(q^3-q)

(1+q)/((q-1)(q+1)) = 1/3;

1/(q-1)=1/3 => q-1=3; q=4.

b1(q+q^2)=30 => b1=30/20=1,5

Ответ: q=4; b1=1,5

Answer 2

$\left \{ {{b_2+b_3=30} \atop {b_4-b_2=90}} \right. \; \; \left \{ {{b_1q+b_1q^2=30} \atop {b_1q^3-b_1q=90}} \right. \; \; \left \{ {{b_1q\cdot (1+q)=30} \atop {b_1q\cdot (q^2-1)=90}} \right. \; \; \left \{ {{b_1q\cdot (1+q)=30} \atop {\frac{b_1q\cdot (q^2-1)}{b_1q\cdot (1+q)}=3}} \right. \\\\\\\frac{(q-1)(q+1)}{1+q}=3\; ,\; \; q-1=3\; ,\; \; \boxed {q=4}\\\\b_1q=\frac{30}{1+q}\; ,\; \; b_1\cdot 4=\frac{30}{1+4}\; ,\; \; b_1\cdot 4=6\; ,\; \; b_1=\frac{6}{4}\; ,\; \; \boxed {b_1=1,5}$

Answer 3

Для геометричної прогресії, загальний член має вигляд:

a_n = a_1 * r^(n-1),

де a_n - n-ий член прогресії, a_1 - перший член прогресії, r - знаменник прогресії, n - номер члена прогресії.

Ми можемо використати дані умови, щоб знайти перший член (a_1) та знаменник (r) геометричної прогресії.

1. b2 + b3 = 30

Ми знаємо, що другий член (b2) геометричної прогресії дорівнює a_1 * r, а третій член (b3) - a_1 * r^2. Тоді:

a_1 * r + a_1 * r^2 = 30.

2. b4 - b2 = 90

Аналогічно, четвертий член (b4) дорівнює a_1 * r^3. Тоді:

a_1 * r^3 - a_1 * r = 90.

Тепер у нас є система рівнянь, яку ми можемо вирішити, використовуючи метод підстановки або елімінації. Давайте розв'яжемо її.

Спростимо перше рівняння:

a_1 * r^2 + a_1 * r - 30 = 0.

Тепер спростимо друге рівняння:

a_1 * r^3 - a_1 * r - 90 = 0.

Тепер ми маємо систему рівнянь:

1. a_1 * r^2 + a_1 * r - 30 = 0,
2. a_1 * r^3 - a_1 * r - 90 = 0.

Можемо спростити кожне рівняння:

1. a_1 * (r^2 + r) - 30 = 0,
2. a_1 * (r^3 - r) - 90 = 0.

Тепер розділимо обидві рівняння на (r^2 + r) і (r^3 - r) відповідно:

1. a_1 - 30 / (r^2 + r) = 0,
2. a_1 - 90 / (r^3 - r) = 0.

Тепер знайдемо значення a_1 і r:

1. a_1 = 30 / (r^2 + r),
2. a_1 = 90 / (r^3 - r).

Так як обидва вирази рівні a_1, то ми можемо прирівняти їх:

30 / (r^2 + r) = 90 / (r^3 - r).

Тепер, помножимо обидві сторони на (r^2 + r) * (r^3 - r), щоб позбутися від знаменників:

30 * (r^3 - r) = 90 * (r^2 + r).

Розкриємо дужки:

30r^3 - 30r = 90r^2 + 90r.

Прирівняємо рівняння до нуля:

30r^3 - 30r - 90r^2 - 90r = 0.

Спростимо:

30r^3 - 120r^2 - 120r = 0.

Тепер розділимо всі члени рівняння на 30, щоб спростити:

r^3 - 4r^2 - 4r = 0.

Тепер ми знаходимо значення r, знайшовши корінь цього рівняння. Зауважимо, що r = 0 не може бути, оскільки знаменник не може дорівнювати нулю в геометричній прогресії. Тому можемо розділити на r:

r^2 - 4r - 4 = 0.

Тепер ми маємо квадратне рівняння, яке ми можемо розв'язати за допомогою квадратного кореня:

r = (4 ± √(4^2 - 4 * 1 * (-4))) / 2 r = (4 ± √(16 + 16)) / 2 r = (4 ± √32) / 2 r = (4 ± 4√2) / 2.

Тепер розділимо кожне значення на 2:

r₁ = 2 + 2√2, r₂ = 2 - 2√2.

Таким чином, ми маємо два можливих значення знаменника (r) геометричної прогресії.

Тепер знайдемо перший член (a_1) геометричної прогресії, використовуючи одне з рівнянь:

a_1 = 30 / (r^2 + r).

Підставимо значення r₁:

a_1 = 30 / ((2 + 2√2)^2 + (2 + 2√2)) a_1 = 30 / (4 + 8√2 + 8 + 2√2) a_1 = 30 / (12 + 10√2).

Підставимо значення r₂:

a_1 = 30 / ((2 - 2√2