Question

Cos((10x-48) / 3x+5) = 1 Найдите все целочисленные решения уравнения

Answer 1

......................

Answer 2

Для начала, давайте решим уравнение $\cos\left(\frac{{10x-48}}{{3x+5}}\right) = 1$.

Косинус имеет период $2\pi$, и его значения находятся в диапазоне от -1 до 1. Когда $\cos(\theta) = 1$, значит, $\theta$ равно $2\pi$ или любому целому числу, умноженному на $2\pi$.

Итак, чтобы найти все целочисленные решения уравнения, нужно решить следующее уравнение:

$\frac{{10x - 48}}{{3x + 5}} = 2\pi \cdot n$,

где $n$ - целое число.

Теперь решим уравнение:

$10x - 48 = 2\pi \cdot n \cdot (3x + 5)$,

$10x - 48 = 6\pi \cdot n \cdot x + 10\pi \cdot n$,

$10x - 6\pi \cdot n \cdot x = 48 + 10\pi \cdot n$,

$x(10 - 6\pi \cdot n) = 48 + 10\pi \cdot n$.

Теперь мы можем найти значения $x$ для различных значений целого числа $n$. Заметим, что если $n = 0$, у нас будет деление на ноль, что не подходит для уравнения. Таким образом, исключим $n = 0$ из наших рассмотрений.

Для $n = 1$:

$x(10 - 6\pi) = 48 + 10\pi$,

$x = \frac{{48 + 10\pi}}{{10 - 6\pi}}$.

Это значение $x$ является рациональным числом, но не целым.

Теперь, если $n = -1$:

$x(10 + 6\pi) = 48 - 10\pi$,

$x = \frac{{48 - 10\pi}}{{10 + 6\pi}}$.

Это значение $x$ также является рациональным числом, но не целым.

Таким образом, после анализа всех возможных целых значений $n$, мы не нашли целочисленных решений уравнения $\cos\left(\frac{{10x-48}}{{3x+5}}\right) = 1$.