Question

Катер проплив 16 км за течією річки і 28 км проти течії, витративши на весь шлях 3 год. Яка власна швидкість катера, якщо швидкість течії 1 км/год?

Answer 1

Пусть собственная скорость катера равна х км/ч. Тогда скорость по течению составляется (x+1) км/ч, а против течения - (x-1) км/ч. Время, затраченное катером по течению и против течения равно 16/(x+1) ч и 28/(х-1) ч соответственно. Катер на весь путь затратил 3 часа.

Составим и решим уравнение.

$\displaystyle \frac{16}{x+1}+\frac{28}{x-1}=3~~\bigg|\cdot(x+1)(x-1)\\ 16(x-1)+28(x+1)=3(x-1)(x+1)\\ 16x-16+28x+28=3x^2-3\\ 3x^2 -44x-15=0$

$x_1=15$ км/ч- собственная скорость катера.

$x_2=-\frac{1}{3}$ - не удовлетворяет условию

Ответ: 15 км/ч.

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі, давайте позначимо швидкість катера (його власну швидкість) через V, а швидкість течії через Vт (яка дорівнює 1 км/год, як зазначено у задачі).

Катер пропливає 16 км за течією річки. Тобто, його швидкість відносно землі (або відносно непорушного берега річки) дорівнює сумі швидкості катера та швидкості течії: V + Vт.

Катер пропливає 28 км проти течії річки. Тобто, його швидкість відносно землі (або відносно непорушного берега річки) дорівнює різниці швидкості катера та швидкості течії: V - Vт.

Для першої ділянки катеру потрібно часу t1, а для другої ділянки - t2. Знаючи відстані та швидкості, можемо записати рівняння для часу:

t1 = 16 км / (V + Vт), t2 = 28 км / (V - Vт).

Також з умови задачі відомо, що час, витрачений на весь шлях, дорівнює 3 годинам:

t1 + t2 = 3.

Тепер можемо скласти рівняння:

16 / (V + 1) + 28 / (V - 1) = 3.

Давайте розв'яжемо це рівняння:

1. Спростимо рівняння, помножимо обидві сторони на (V + 1) * (V - 1), щоб позбавитись від знаменників:

16 * (V - 1) + 28 * (V + 1) = 3 * (V + 1) * (V - 1).

2. Розкриємо дужки:

16V - 16 + 28V + 28 = 3(V^2 - 1).

3. Зіберемо всі члени рівняння на одній стороні:

44V + 12 = 3V^2 - 3.

4. Перенесемо все в один бік, щоб отримати квадратне рівняння:

3V^2 - 44V - 15 = 0.

5. Знайдемо розв'язки цього квадратного рівняння. Для цього можемо скористатися формулою дискримінанта D:

D = b^2 - 4ac, де a = 3, b = -44, c = -15.

D = (-44)^2 - 4 * 3 * (-15) = 1936 + 180 = 2116.

6. Знайдемо два розв'язки для V за допомогою формули:

V = (-b ± √D) / 2a.

V1 = (-(-44) + √2116) / (2 * 3) = (44 + 46) / 6 = 90 / 6 = 15.

V2 = (-(-44) - √2116) / (2 * 3) = (44 - 46) / 6 = -2 / 6 = -1/3.

Отже, маємо два розв'язки: V1 = 15 та V2 = -1/3. Від'ємна швидкість (V2) не має сенсу в контексті цієї задачі, оскільки швидкість не може бути від'ємною. Тому правильною відповіддю є V = 15 км/год.

Отже, власна швидкість катера становить 15 км/год.