Question

А)Решите уравнение 3cos2x+7sinx+2=0 Б)Найдите все корни этого уравнения,принадлежащие отрезку (-5п/2;-п)

Answer 1

$3\cos2x+7\sin x+2=0 \\\ 3(1-2\sin^2x)+7\sin x+2=0 \\\ 3-6\sin^2x+7\sin x+2=0 \\\ 6\sin^2x-7\sin x-5=0 \\\ D=(-7)^2-4\cdot6\cdot(-5)=169 \\\ \sin x\neq\dfrac{7+13}{2\cdot6} = \dfrac{5}{3} >1 \\\ \sin x=\dfrac{7-13}{2\cdot6} = -\dfrac{1}{2} \\\ x_1=-\dfrac{\pi}{6} +2\pi k, \ k\in Z; \ x_2=-\dfrac{5\pi}{6} +2\pi n, \ n\in Z$

Отбор корней:

$-\dfrac{5\pi}{2}$

$-\dfrac{5\pi}{2}$

Ответ: А) $\left[\begin{array}{l} x_1=-\dfrac{\pi}{6} +2\pi k, \ k\in Z \\ x_2=-\dfrac{5\pi}{6} +2\pi n, \ n\in Z \end{array}$; Б) $-\dfrac{13\pi}{6}$

Answer 2

Для решения уравнения $3\cos^2x + 7\sin x + 2 = 0$ мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами для перехода от синусов к косинусам. В данном случае, можно воспользоваться тождеством $\sin^2x + \cos^2x = 1$.

Заметим, что в данном уравнении у нас есть только синус и косинус, поэтому допустимо использовать это тождество для его преобразования. Подставим $\cos^2x = 1 - \sin^2x$ в исходное уравнение:

$3(1-\sin^2x) + 7\sin x + 2 = 0.$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3 - 3\sin^2x + 7\sin x + 2 = 0.$

Теперь перенесем все слагаемые в левую часть:

$3\sin^2x - 7\sin x - 5 = 0.$

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно $\sin x$. Чтобы решить его, применим квадратную формулу: для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, корни можно найти по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

В нашем случае: $a = 3$, $b = -7$, $c = -5$.

$\sin x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5)}}{2 \cdot 3}$

Выполним вычисления:

$\sin x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 60}}{6}$ $\sin x = \frac{7 \pm \sqrt{109}}{6}$

Таким образом, у нас есть два возможных значения для синуса $x$:

1. $\sin x = \frac{7 + \sqrt{109}}{6}$
2. $\sin x = \frac{7 - \sqrt{109}}{6}$

Теперь для каждого из этих значений синуса нужно найти соответствующие значения $x$. Найденные $x$ могут принадлежать отрезку $(-5\pi/2, -\pi)$.

1. $\sin x = \frac{7 + \sqrt{109}}{6}$

Чтобы найти соответствующее значение $x$, воспользуемся обратной функцией синуса $\sin^{-1}$:

$x = \sin^{-1}\left(\frac{7 + \sqrt{109}}{6}\right) \approx 0.934$

2. $\sin x = \frac{7 - \sqrt{109}}{6}$

Аналогично, найдем $x$:

$x = \sin^{-1}\left(\frac{7 - \sqrt{109}}{6}\right) \approx -1.302$

Теперь у нас есть два возможных значения $x$: $x \approx 0.934$ и $x \approx -1.302$. Проверим, принадлежат ли они указанному отрезку $(-5\pi/2, -\pi)$:

Условие: $x \in \left(-\frac{5\pi}{2}, -\pi\right)$