Question

Что думаете? | | 3x-4 | +2x+6 | ≤ 12 Тут скорее всего нужно решать общим методом решения неравенств с модулем

Answer 1

Чтобы было понятнее, сделаем так:


$| |3x - 4| + 2x + 6 | \leqslant 12$

$1) \: |3x - 4| + 2x + 6\leqslant 12 \\ \\ |3x - 4| \leqslant - 2x + 6 \\ \\ a) \: 3x - 4 \leqslant - 2x + 6 \\ \\ 3x + 2x \leqslant 6 + 4 \\ \\ 5x \leqslant 10 \\ \\ x \leqslant 2 \\ \\ b) \: - (3x - 4) \leqslant - 2x + 6 \\ \\ - 3x + 4 \leqslant - 2x + 6 \\ \\ - 3x + 2x \leqslant 6 - 4 \\ \\ - x \leqslant 2 \\ \\ x \geqslant - 2$


$2) \: - ( |3x - 4| + 2x + 6) \leqslant 12 \\ \\ |3x - 4| + 2x + 6 \geqslant - 12 \\ \\ |3x - 4| \geqslant - 2x - 18 \\ \\ a) \: 3x - 4 \geqslant - 2x - 18 \\ \\ 3x + 2x \geqslant - 18 + 4 \\ \\ 5x \geqslant - 14 \\ \\ x \geqslant - \frac{14}{5} \\ \\ x \geqslant - 2.8 \\ \\ b) \: - (3x - 4) \geqslant - 2x - 18 \\ \\ 3x - 4 \leqslant 2x + 18 \\ \\ 3x - 2x \leqslant 18 + 4 \\ \\ x \leqslant 22$


Объединяем Х ≤ 2 ; Х ≥ - 2 ; Х ≥ - 2,8 ; Х ≤ 22


------•[ - 2,8 ]-------•[ - 2 ]-------•[ 2 ]--------•[ 22 ]------> Х


Значит, Х € [ - 2 ; 2 ]




ОТВЕТ: [ - 2 ; 2 ]

Answer 2

решаются уравнения типа |a|<A как -A<a<A при A>0

поступим также

| | 3x-4 | +2x+6 | ≤ 12

-12 ≤ | 3x-4 | +2x+6 ≤ 12

-18-2x ≤ | 3x-4 | ≤ 6-2x

имеем два неравенства и будем их решать как систему с раскрытием модуля

1. -18-2x ≤ | 3x-4 |

-18 - 2x ≤ 3x-4 -18-2x ≤ 4 - 3x

5x≥ -14 x≤22

x≥-14/5 = -2.8

x∈[-2.8, 22]

2. | 3x-4 | ≤ 6-2x

3x-4 ≤ 6-2x 4-3x≤6-2x

5x ≤ 10 x≥-2

x≤2

x∈[-2 2]

пересекаем оба решения и получаем

ответ x∈[-2 2]

Answer 3

Да, вы правы. Для решения данного неравенства с модулями, нужно воспользоваться общим методом. Давайте разберемся, как его решить.

Неравенства с модулями можно разбить на несколько случаев в зависимости от выражений внутри модуля. Затем для каждого случая решим соответствующее уравнение.

1. Если выражения внутри обоих модулей положительны или равны нулю: |3x - 4| + 2x + 6 ≤ 12

2. Если выражения внутри обоих модулей отрицательны: -(3x - 4) - (2x + 6) ≤ 12

3. Если выражение в первом модуле положительно или равно нулю, а второе отрицательно: |3x - 4| - (2x + 6) ≤ 12

4. Если выражение в первом модуле отрицательно, а второе положительно или равно нулю: -(3x - 4) + 2x + 6 ≤ 12

Теперь рассмотрим каждый случай по отдельности и найдем решения для x.

1. Если оба выражения внутри модулей положительны или равны нулю: 3x - 4 + 2x + 6 ≤ 12 5x + 2 ≤ 12 5x ≤ 10 x ≤ 2

2. Если оба выражения внутри модулей отрицательны: -(3x - 4) - (2x + 6) ≤ 12 -3x + 4 - 2x - 6 ≤ 12 -5x - 2 ≤ 12 -5x ≤ 14 x ≥ -2.8 (Учтем, что неравенство поменяло знак на противоположный после деления на -5)

3. Если первое выражение положительно или равно нулю, а второе отрицательно: (3x - 4) - (2x + 6) ≤ 12 3x - 4 - 2x - 6 ≤ 12 x - 10 ≤ 12 x ≤ 22

4. Если первое выражение отрицательно, а второе положительно или равно нулю: -(3x - 4) + 2x + 6 ≤ 12 -3x + 4 + 2x + 6 ≤ 12 x + 10 ≤ 12 x ≤ 2

Таким образом, получаем три интервала, где неравенство выполняется:

1. x ≤ 2
2. x ≥ -2.8
3. x ≤ 22

Таким образом, объединяя эти интервалы, мы получаем окончательный ответ: x ∈ (-∞, -2.8] ∪ (2, 22]