Question

Доведіть, що множина всіх можливих додатних дробів із чисельником 2, зліченна.

Answer 1

Все дроби вида 2\n - разные числа. Так как n - целое число и дробь должна быть положительной, то n - это все натуральные числа.
Ставим в соответстчие каждому числу n число 2/n, получаем биекцию, так что наше множество равномощно множеству натуральных чисел, а оно, как известно, счетно

Answer 2

Для того щоб довести, що множина всіх можливих додатних дробів із чисельником 2 є зліченною, ми можемо встановити відповідність між цією множиною і множиною натуральних чисел (позитивних цілих чисел).

Розглянемо дроби з чисельником 2, які мають знаменник, що належить до множини натуральних чисел. Позначимо множину таких дробів як S:

S = {2/1, 2/2, 2/3, 2/4, 2/5, 2/6, ...}

Можемо помітити, що кожен елемент множини S є додатнім ірраціональним числом, оскільки 2 є натуральним числом, і його знаменник збільшується на одиницю в кожному наступному дробі.

Тепер ми можемо встановити відповідність між множиною S та множиною натуральних чисел (N). Просто використовуючи натуральні числа як індекси, ми можемо призначити кожному елементу множини S відповідний індекс:

1 -> 2/1 2 -> 2/2 3 -> 2/3 4 -> 2/4 5 -> 2/5 і так далі.

Оскільки множина натуральних чисел (N) є зліченною, а кожному елементу множини S може бути призначений унікальний індекс з N, то множина S також є зліченною.

Таким чином, ми довели, що множина всіх можливих додатних дробів із чисельником 2 є зліченною.