Question

Довести, що сума двох додатних нескоротних дробів дорівнює цілому числу лише в тому випадку, коли знаменники цих дробів рівні між собою.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

пусть a/b и с/d несократимые дроби

рассмотрим два случая

1) при b=d

a/b+с/d=a/b+с/b=(a+с)/b может быть целым числом

например 1/2+1/2=2/2=1

2) пусть a/b и с/d несократимые дроби и b не равно d

тогда

a/b+с/d=(ad+bc)/(bd) предположим что  эта дробь является целым числом

тогда (ad+bc)=bdn, где n некоторое натуральное число

тогда ad=bdn-bc=b(dn-c)

ad=b(dn-c) ⇒ так как a не делится на b по условию то ⇒ d делится на b

тогда d=bm ,  где m некоторое натуральное число

тогда исходная сумма будет иметь вид

a/b+с/bm=(am+c)/bm и если это целое число то

am+c=bmk, где k некоторое натуральное число

c=bmk-am=m(bk-a) ⇒ с делится на m но если так то дробь с/d=c/bm сократима  что противоречит условию задачи

⇒  a/b+с/d  при b не равно d  не является и не может быть целым числом

⇒ сумма двух положительных несократимых дробей равна целому числу только в том случае, когда знаменатели этих дробей равны между собой.

Answer 2

Для доведення цієї твердження розглянемо дві додатні нескоротні дроби: a/b та c/d, де a, b, c та d - цілі додатні числа, а b та d - знаменники цих дробів.

За умовою маємо: a/b + c/d = n, де n - ціле число.

Спершу складемо ці дроби у одну за спільним знаменником:

a/b + c/d = (ad + bc) / bd = n.

Ми знаємо, що a/b та c/d - нескоротні дроби, тобто їхні чисельники (a, c) та знаменники (b, d) не мають спільних дільників, крім 1.

Отже, a та c є взаємно простими числами (їхній найбільший спільний дільник дорівнює 1): gcd(a, c) = 1.

Зараз розглянемо рівність:

(ad + bc) / bd = n.

Помножимо обидві сторони на bd:

ad + bc = nbd.

Також ми знаємо, що a та c є взаємно простими числами, отже, їхній найбільший спільний дільник дорівнює 1: gcd(a, c) = 1.

З останньої рівності видно, що a та c можуть бути роздільними множниками лише однієї зі сторін рівності: або a є множником n, а c є множником bd, або навпаки.

Якщо a є множником n, то n має містити принаймні всі прості множники числа a, але це неможливо, оскільки gcd(a, c) = 1. Тобто a не може бути множником n.

Таким чином, маємо тільки один варіант: a є множником bd, а c є множником n.

Це означає, що b має містити всі прості множники числа c, оскільки b та c не мають спільних дільників (gcd(b, c) = 1), і це можливо лише тоді, коли b = c.

Отже, знаменники цих дробів мають бути рівні між собою: b = c.

Цим ми довели, що сума двох додатних нескоротних дробів дорівнює цілому числу лише в тому випадку, коли їхні знаменники рівні між собою.