Question

Выполните действия с комплексными числами: 1)(2+3i)(3−i) 2)2−i/1+i 3)(1+2i)^2 Все сделать в алгебраической,а не показательной форме!

Answer 1

$i^2=-1\\\\1)\; \; (2+3i)(3-i)=6-2i+9i-3i^2=9+7i\\\\2)\; \; \frac{2-i}{1+i}=\frac{(2-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{2-i-i+i^2}{1-i^2}=\frac{1-2i}{2}=\frac{1}{2}-i\\\\3)\; \; (1+2i)^2=1+4i+4i^2=1+4i-4=-3+4i$

Answer 2

Для выполнения указанных действий с комплексными числами, нужно использовать алгебраическую форму комплексных чисел. Алгебраическая форма представляет комплексное число в виде a + bi, где "a" и "b" - это вещественные числа, а "i" - мнимая единица (i^2 = -1).

1. (2+3i)(3−i): Раскроем скобки, используя правило FOIL (First, Outer, Inner, Last):

(2 + 3i)(3 - i) = 2 * 3 + 2 * (-i) + 3i * 3 + 3i * (-i) = 6 - 2i + 9i - 3i^2

Обратите внимание, что i^2 = -1:

(2 + 3i)(3 - i) = 6 - 2i + 9i - 3(-1) = 6 - 2i + 9i + 3 = 9 + 7i

Ответ: (2 + 3i)(3 - i) = 9 + 7i

2. (2 - i)/(1 + i): Для деления комплексных чисел, умножим числитель и знаменатель на сопряженное комплексное число знаменателя, чтобы избавиться от мнимого знаменателя.

Сопряженное комплексное число z сопряжено с числом z' и определяется как: z' = a - bi (если z = a + bi)

Где a и b - это вещественные числа.

Таким образом, сопряженное число для (1 + i) будет (1 - i).

Теперь выполняем деление:

(2 - i)/(1 + i) = (2 - i)(1 - i)/(1 + i)(1 - i)

Раскроем скобки:

(2 - i)/(1 + i) = (2 - 2i - i + i^2)/(1 - i + i - i^2) = (2 - 2i - i - 1)/(1 - (-1)) = (1 - 3i)/(2) = 1/2 - (3i)/2

Ответ: (2 - i)/(1 + i) = 1/2 - (3i)/2

3. (1 + 2i)^2: Возводим в квадрат, используя правило (a + bi)^2 = a^2 + 2abi + b^2i^2. Используем, что i^2 = -1:

(1 + 2i)^2 = 1^2 + 2 * 1 * 2i + (2i)^2 = 1 + 4i + 4i^2

Так как i^2 = -1:

(1 + 2i)^2 = 1 + 4i - 4 = -3 + 4i

Ответ: (1 + 2i)^2 = -3 + 4i