Question

Выполнить действия с комплексными числами в алгебраической форме. Результат записать в тригонометрической и показательной формах 2(1-i*sqrt(3)) /1+i*sqrt(3)

Answer 1

Для деления умножаем числитель и знаменатель на число, сопряжнное знаменателю. Вычисляем модуль числа.

Answer 2

Для выполнения действий с комплексными числами в алгебраической форме, нужно сначала привести их к общему знаменателю, а затем сложить или вычесть их действительные и мнимые части. Результат можно записать в тригонометрической и показательной формах, используя формулы для модуля и аргумента комплексного числа. Давайте решим ваш пример пошагово:

$2(1-i\\sqrt{3})/(1+i\\sqrt{3})=\\frac{2(1-i\\sqrt{3})(1-i\\sqrt{3})}{(1+i\\sqrt{3})(1-i\\sqrt{3})}=\\frac{2(1-2i\\sqrt{3}-3)}{1+3}=\\frac{-4-4i\\sqrt{3}}{4}=-1-i\\sqrt{3}$

Для перевода в тригонометрическую форму, найдем модуль и аргумент комплексного числа:

$|-1-i\\sqrt{3}|=\\sqrt{(-1)^2+(\\sqrt{3})^2}=\\sqrt{1+3}=2$

$\\arg(-1-i\\sqrt{3})=\\operatorname{arctg}\\frac{\\sqrt{3}}{-1}=\\operatorname{arctg}(-\\sqrt{3})=-\\frac{\\pi}{3}$

Тогда тригонометрическая форма комплексного числа будет:

$-1-i\\sqrt{3}=2(\\cos(-\\frac{\\pi}{3})+i\\sin(-\\frac{\\pi}{3}))=2(\\frac{1}{2}-i\\frac{\\sqrt{3}}{2})$

Для перевода в показательную форму, используем формулу Эйлера:

$e^{i\\phi}=\\cos\\phi+i\\sin\\phi$

Тогда показательная форма комплексного числа будет:

$-1-i\\sqrt{3}=2e^{-i\\frac{\\pi}{3}}$

Надеюсь, это помогло вам понять, как работать с комплексными числами в разных формах.