Question

Решить уравнение |(x-1)(x-6)|*(|x+2|+|x-8|+|x-3|)=11(x-1)(6-x) Желательно с пояснением.

Answer 1

$|(x-1)(x-6)|\cdot(|x+2|+|x-8|+|x-3|)=11(x-1)(6-x)$

Из-за обилия модулей уравнение придется решать на интервалах. Сразу отметим, что x=1 и x=6 являются решением уравнения, так как обнуляют обе его части. Для удобства для каждого интервала будем делить все уравнение на (x-1)(x-6).

Найдем нули подмодульных выражений

(x-1)(x-6)=0 ⇒ x=1, x=6

x+2=0 ⇒ x=-2

x-8=0 ⇒ x=8

x-3=0 ⇒ x=3

Чтобы не запутаться, используем числовую прямую (в прикрепе)

$1) \ x \in ( - \infty; \ -2)\\ -x-2-x+8-x+3=-11\\ -3x=-20\\ x=\dfrac{20}{3} \notin (- \infty ; \ -2) \\ \\ 2) \ x \in [-2; \ 1]\\ x+2-x+3-x+8=-11\\ -x=-24\\ x=24 \notin [-2; \ 1]\\ \\ 3) \ x \in (1; \ 3)\\ x+2-x+3-x+8=11\\ -x=-2\\ x=2\\ \\ 4) \ x \in [3; \ 6]\\ x+2+x-3-x+8=11\\ x=4\\ \\ 5) \ x \in (6; \ 8)\\ x+2+x-3-x+8=-11\\ x=-18 \notin (6; \ 8)\\ \\ 6) x \in [8; \ + \infty)\\ x+2+x-3+x-8=-11\\ 3x=-2\\ x=-\dfrac{2}{3} \notin [8; \ + \infty)$

Ответ: 1; 2; 4; 6

Answer 2

Давайте посмотрим на данное уравнение и рассмотрим различные интервалы значений переменной x, где мы можем анализировать его.

Уравнение: |(x-1)(x-6)| * (|x+2| + |x-8| + |x-3|) = 11(x-1)(6-x)

1. Найдем интервалы, где выражение |(x-1)(x-6)| неотрицательно: Для этого нужно рассмотреть два случая: a) (x-1)(x-6) ≥ 0 б) (x-1)(x-6) < 0

a) (x-1)(x-6) ≥ 0: Это верно, когда x ≤ 1 или x ≥ 6.

б) (x-1)(x-6) < 0: Это верно, когда 1 < x < 6.

2. Теперь рассмотрим выражение |x+2| + |x-8| + |x-3| и найдем его значения для различных интервалов x:

a) x ≤ -2: |(-2) + 2| + |(-2) - 8| + |(-2) - 3| = 2 + 10 + 5 = 17

б) -2 < x ≤ 3: |(x) + 2| + |(x) - 8| + |(x) - 3| = x + 2 + 8 - x + 3 - x = 13

в) 3 < x ≤ 6: |(x) + 2| + |(x) - 8| + |(x) - 3| = x + 2 + 8 - x + x - 3 = 7

г) x > 6: |(x) + 2| + |(x) - 8| + |(x) - 3| = x + 2 - x - 8 + x - 3 = -9

3. Теперь уравнение принимает следующий вид в каждом из интервалов:

a) x ≤ 1: (1-x)(6-x) * (17) = 11(1-x)(6-x)

б) 1 < x ≤ 3: (1-x)(6-x) * (13) = 11(1-x)(6-x)

в) 3 < x ≤ 6: (1-x)(6-x) * (7) = 11(1-x)(6-x)

г) x > 6: (1-x)(6-x) * (-9) = 11(1-x)(6-x)

4. Рассмотрим каждый из случаев:

a) x ≤ 1: Заметим, что выражение (1-x)(6-x) неотрицательно при x ≤ 1. Поэтому можем сократить на него обе стороны уравнения: 17 = 11 Так как это неверное утверждение, то в данном интервале решений нет.

б) 1 < x ≤ 3: Также заметим, что выражение (1-x)(6-x) отрицательно в данном интервале. Можем сократить его на обе стороны: 13 = 11 Опять неверное утверждение, решений в этом интервале нет.

в) 3 < x ≤ 6: В данном интервале (1-x)(6-x) снова положительно, и мы можем сократить на него: 7 = 11(6-x) - 11(x-1) 7 = 66 - 11x - 11x + 11 7 = 77 - 22x 22x = 77 - 7 x = 70 / 22 x ≈ 3.182

г) x > 6: В этом интервале выражение (1-x)(6-x) снова отрицательно, и мы можем сократить его: -9 = 11(6-x) - 11(x-1) -9 = 66 - 11x - 11x + 11 -9 = 77 - 22x 22x = 77 + 9 x = 86 / 22 x ≈ 3.909

Итак, решением уравнения являются два интервала: 3 < x ≤ 6 и x > 6.