Question

Найдите наименьший положительный корень уравнения (в градусах) cos3x*cosx-sinx*sin3x=1 C подробным решением, пожалуйста.

Answer 1

$\bf cos3xcosx-sinxsin3x=1\\ cos4x=1\\ 4x=2 \pi k\\ x=\dfrac{\pi k }{2}; \ k \in Z$

Выражение πk/2>0 при k>0. Берем наименьшее целое положительное число - k=1, получаем x=π/2 - наименьший положительный корень. В градусах это 90°.

Ответ: 90°

Answer 2

Для решения уравнения cos3xcosx - sinxsin3x = 1 найдем все корни, включая наименьший положительный корень, в интервале [0, 360] градусов.

Используем формулы приведения для произведения тригонометрических функций:

1. cos(A - B) = cos(A) * cos(B) + sin(A) * sin(B)
2. cos(A + B) = cos(A) * cos(B) - sin(A) * sin(B)

Уравнение примет вид:

cos(3x - x) = 1 cos(2x) = 1

Далее решим уравнение:

cos(2x) = 1

Это уравнение имеет решения вида:

2x = 2 * π * n, где n - целое число

x = π * n, где n - целое число

Однако, нам необходимо найти наименьший положительный корень, поэтому ограничимся n = 0.

Таким образом, x = 0.

Наименьший положительный корень уравнения cos3x * cosx - sinx * sin3x = 1 равен 0 градусов.