Question

Найти все натуральные n при которых дробь 5n+1/7n+1 будет сократимой

Answer 1

я написал решение на листочке ===>>

Answer 2

Дробь 5n+1/7n+1 будет сократимой, если числитель и знаменатель имеют общие делители, кроме 1. Давайте найдем все натуральные n, при которых это условие выполняется.

1. Найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя.

НОД(5n + 1, 7n + 1) = НОД(7n + 1 - 2(5n + 1), 7n + 1) = НОД(7n + 1 - 10n - 2, 7n + 1) = НОД(-3n - 1, 7n + 1).

2. Найдем НОД(-3n - 1, 7n + 1):

НОД(-3n - 1, 7n + 1) = НОД(-3n - 1 + 2(7n + 1), 7n + 1) = НОД(11n + 1, 7n + 1).

3. Найдем НОД(11n + 1, 7n + 1):

НОД(11n + 1, 7n + 1) = НОД(11n + 1 - (11n + 1 - 7n - 1), 7n + 1) = НОД(7n, 7n + 1).

4. Найдем НОД(7n, 7n + 1):

НОД(7n, 7n + 1) = НОД(7n + 1 - 1, 7n + 1) = НОД(1, 7n + 1) = 1.

Таким образом, у нас получилось, что НОД(5n + 1, 7n + 1) = 1 для всех натуральных n.

Это значит, что у дроби 5n + 1 / 7n + 1 нет общих делителей, кроме 1, для всех натуральных n. Следовательно, дробь 5n + 1 / 7n + 1 будет сократимой для всех натуральных n.