Question

Решите тригонометрическое уравнение: Sin5x-sin3x=cos4x

Answer 1

sin5x - sin3x = cos4x

Воспользуемся формулой разности синусов:

2*sin[(5x - 3x)/2]*cos[(5x + 3x)/2] = cos4x

2sinx*cos4x = cos4x

2sinx*cos4x - cos4x = 0

cos4x(2sinx - 1) = 0

cos4x = 0 или 2sinx - 1 = 0

cos4x = 0 или sinx = 1/2

4x = π/2 + πn, n ∈ Z; x = (-1)ⁿπ/6 + πn, n ∈ Z

x = π/8 + πn/4, n ∈ Z; (-1)ⁿπ/6 + πn, n ∈ Z

Ответ: x = π/8 + πn/4; (-1)ⁿπ/6 + πn, n ∈ Z.

Answer 2

Решение (см. изображение)

Answer 3

Для решения данного тригонометрического уравнения, мы будем использовать тригонометрические тождества и методы сокращения.

Исходное уравнение: sin(5x) - sin(3x) = cos(4x)

Для начала, давайте воспользуемся тригонометрической формулой для разности синусов: sin(A) - sin(B) = 2 * cos((A + B) / 2) * sin((A - B) / 2)

Применяя эту формулу к нашему уравнению, получим: 2 * cos((5x + 3x) / 2) * sin((5x - 3x) / 2) = cos(4x)

Упростим выражение: 2 * cos(4x) * sin(2x) = cos(4x)

Теперь давайте рассмотрим два случая:

Случай 1: cos(4x) ≠ 0 Если cos(4x) ≠ 0, то мы можем сократить его с обеих сторон уравнения: 2 * sin(2x) = 1

Теперь разделим обе стороны на 2: sin(2x) = 1/2

Теперь найдем значения углов, удовлетворяющих этому уравнению: 2x = π/6 + 2πn или 2x = 5π/6 + 2πn, где n - целое число.

Теперь найдем значения x: x = π/12 + πn или x = 5π/12 + πn, где n - целое число.

Случай 2: cos(4x) = 0 Если cos(4x) = 0, то уравнение становится: 2 * cos(4x) * sin(2x) = 0

Так как умножение на 0 дает 0, то одно из слагаемых должно быть равно 0:

1. cos(4x) = 0

2. sin(2x) = 0

3. cos(4x) = 0 Это уравнение имеет следующие решения: 4x = π/2 + πn или 4x = 3π/2 + πn, где n - целое число.

Теперь найдем значения x: x = π/8 + πn/4 или x = 3π/8 + πn/4, где n - целое число.

2. sin(2x) = 0 Это уравнение имеет следующие решения: 2x = πn или 2x = π + πn, где n - целое число.

Теперь найдем значения x: x = πn/2 или x = π/2 + πn/2, где n - целое число.

Итак, мы получили следующие значения x, удовлетворяющие исходному уравнению: x = π/12 + πn, x = 5π/12 + πn, x = π/8 + πn/4, x = 3π/8 + πn/4, x = πn/2, x = π/2 + πn/2, где n - целое число.