Question

Решите модульное неравенство x^2-|5x+6|>0

Answer 1

task/29592831    Решите модульное неравенство x² - | 5x+6 | > 0 .

x² - | 5x+6 | > 0 .⇔ [ { 5x+6 < 0 ;  x²+ 5x+6 > 0 . { 5x+6 ≥ 0 ;  x² - 5x - 6 > 0 .

* * * совокупность ( " [ " )  2-х систем ( " { " )  неравенств  * * *

a) { 5x+6 < 0 ;  x²+ 5x+6 > 0 . ⇔ { x  < -1 ,2  ;  (x+ 3)*(x+2) > 0 . ⇒

x ∈( -∞;  -3) ∪ ( -2 ; -1,2) .

///////////////////////////////////////////////// ( -1,2) -------------

///////////////// (-3)-----------------(-2) /////////////////////////////

ИЛИ

б) { 5x+6 ≥ 0 ;  x² - 5x- 6 > 0 . ⇔ { x  ≥ -1 ,2  ;  (x+ 1)*(x - 6) > 0 . ⇒

x ∈ [ -1,2 ; -1) ∪ (6 ; ∞) .

-----------------------------------------------[-1,2] /////////////////////////////////////////////////

///////////////////////////////////////////////////////// (-1)-----------------(6) //////////////////

Объединяя  решения  а) и б)  получаем

ответ:  x ∈ ( -∞;  -3) ∪ ( -2 ; -1 )  ∪ [6 ; ∞) .

Answer 2

Для решения модульного неравенства x^2 - |5x + 6| > 0, мы должны разбить его на несколько случаев, в зависимости от знака выражения внутри модуля. Давайте рассмотрим оба случая:

1. При 5x + 6 ≥ 0 (то есть выражение внутри модуля неотрицательно):

x^2 - (5x + 6) > 0

2. При 5x + 6 < 0 (то есть выражение внутри модуля отрицательно):

x^2 + (5x + 6) > 0

Теперь решим каждое неравенство по отдельности:

1. При 5x + 6 ≥ 0:

x^2 - (5x + 6) > 0

Преобразуем:

x^2 - 5x - 6 > 0

Теперь найдем корни уравнения x^2 - 5x - 6 = 0:

(x - 6)(x + 1) = 0

Корни: x = 6 и x = -1

Теперь построим таблицу знаков на интервалах (-∞, -1), (-1, 6) и (6, ∞):

scssCopy code
    (-∞, -1)        (-1, 6)         (6, ∞)

---

x | - | + | + x^2 | + | + | + 5x + 6 | - | + | +

Заметим, что x^2 - (5x + 6) > 0 на интервалах (-1, 6) и (6, ∞).

2. При 5x + 6 < 0:

x^2 + (5x + 6) > 0

Преобразуем:

x^2 + 5x + 6 > 0

Теперь найдем корни уравнения x^2 + 5x + 6 = 0:

(x + 2)(x + 3) = 0

Корни: x = -2 и x = -3

Построим таблицу знаков на интервалах (-∞, -3), (-3, -2) и (-2, ∞):

scssCopy code
    (-∞, -3)        (-3, -2)        (-2, ∞)

---

x | - | + | + x^2 | + | + | + 5x + 6 | + | + | -

Заметим, что x^2 + (5x + 6) > 0 на интервалах (-∞, -3) и (-2, ∞).

Таким образом, решением исходного неравенства является объединение интервалов, где выражение внутри модуля больше нуля:

(-∞, -3) ∪ (-2, ∞) ∪ (-1, 6) ∪ (6, ∞)