Question

Среди делителей числа 1*2*3*....*16*17 найдите наибольший, который является кубом натурального числа

Answer 1

$\tt 1\cdot 2\cdot 3\cdot...\cdot16\cdot17=1\cdot 2\cdot3\cdot 2^2\cdot5\cdot 2\cdot 3\cdot7\cdot 2^3\cdot3^2\cdot2\cdot 5\cdot11\cdot 2^2\cdot3\cdot \\ \\ \cdot13\cdot2\cdot7\cdot3\cdot5\cdot2^4\cdot17=2^{15}\cdot3^6\cdot5^3\cdot7^2\cdot11\cdot 13\cdot17=\\ \\ =(2^5\cdot3^2\cdot5)^3\cdot 7^2\cdot11\cdot13\cdot17=1440^3\cdot7^2\cdot11\cdot13\cdot17$

Наибольший делитель, который является кубом натурального числа $\tt 1440^3$

Answer 2

Для найти наибольший делитель числа 123*....1617, который является кубом натурального числа, нам нужно разложить это число на простые множители и затем выбрать из них только те, которые являются кубами. Затем необходимо выбрать наибольший из этих кубов. Давайте выполним это по шагам:

1. Разложим число 123*....1617 на простые множители: 123*....1617 = 2^8 * 3^6 * 5^3 * 7^2 * 11 * 13 * 17.

2. Теперь найдем кубы среди этих простых множителей:

• 2^8 = (2^3)^2 * 2^2, является кубом (2^3).
• 3^6 = (3^2)^3 * 3^3, является кубом (3^2).
• 5^3 = (5^1)^3, является кубом (5^1).
• 7^2 = (7^1)^2, является кубом (7^1).

3. Выберем наибольший из найденных кубов: 3^2 = 9.

Таким образом, наибольший делитель числа 123*....1617, который является кубом натурального числа, равен 9.