Question

Найдите общий вид первообразных для функции у=f(x):1)f(х)=3/х^3+4sin3x. 2)f(x)=sin^2x-cos^2x

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Для каждой из данных функций найдем их первообразные:

1. Функция у = f(x) = 3/x^3 + 4sin(3x).

Для нахождения первообразной этой функции, нам нужно найти такую функцию F(x), производная которой равна данной функции f(x). Первообразная функция обозначается как F(x) + C, где С - произвольная постоянная.

Найдем первообразную для члена 3/x^3. Для этого воспользуемся правилом для интегрирования степенной функции: ∫ x^n dx = (x^(n+1)) / (n+1) + C1,

где n ≠ -1, а C1 - произвольная постоянная.

Для функции 3/x^3, n = -3, поэтому получаем: ∫ (3/x^3) dx = 3 * ∫ (x^(-3)) dx = 3 * (x^(-3 + 1)) / (-3 + 1) + C1 = -x^(-2) + C1 = -1/x^2 + C1.

Теперь найдем первообразную для 4sin(3x). Для этого воспользуемся правилом для интегрирования синуса: ∫ sin(ax) dx = -(1/a) * cos(ax) + C2,

где a ≠ 0, а C2 - произвольная постоянная.

Для функции 4sin(3x), a = 3, поэтому получаем: ∫ (4sin(3x)) dx = 4 * ∫ sin(3x) dx = 4 * (-(1/3) * cos(3x)) + C2 = -(4/3) * cos(3x) + C2.

Теперь объединим обе первообразные и добавим общую постоянную С: F(x) = -1/x^2 - (4/3) * cos(3x) + C.

2. Функция у = f(x) = sin^2(x) - cos^2(x).

Для нахождения первообразной этой функции, воспользуемся тригонометрическими тождествами: sin^2(x) - cos^2(x) = -cos(2x).

Теперь мы можем использовать правило для интегрирования косинуса: ∫ cos(ax) dx = (1/a) * sin(ax) + C,

где a ≠ 0, а C - произвольная постоянная.

Для функции -cos(2x), a = 2, поэтому получаем: ∫ (-cos(2x)) dx = -(1/2) * sin(2x) + C.

Таким образом, первообразная функции sin^2(x) - cos^2(x) равна: F(x) = -(1/2) * sin(2x) + C.

Обратите внимание, что в обоих случаях добавляется произвольная постоянная C, так как при дифференцировании эта постоянная исчезает, и производная от F(x) + C будет равна исходной функции f(x).