Question

Докажите тождество: 1 - 4sin²α · cos²α ------------------------- + 2sinα · cos α = 1 (sin α + cos α)²

Answer 1

Вот решение. Как то так

Answer 2

Для доказательства данного тождества, начнем с левой стороны и преобразуем ее, чтобы прийти к правой стороне:

Левая сторона: 1 - 4sin²α · cos²α + 2sinα · cosα

Перепишем 2sinα · cosα в виде sin2α:

= 1 - 4sin²α · cos²α + sin2α

Используем тригонометрическую формулу sin2α = 2sinα · cosα:

= 1 - 4sin²α · cos²α + 2sin²α · cos²α

Объединим слагаемые:

= 1 - 2sin²α · cos²α

Теперь используем тригонометрическую тождество cos²α + sin²α = 1:

= 1 - 2sin²α · (1 - sin²α)

Раскроем скобку:

= 1 - 2sin²α + 2sin⁴α

Теперь объединим слагаемые:

= 1 + 2sin⁴α - 2sin²α

Теперь посмотрим на правую сторону:

Правая сторона: (sinα + cosα)²

Раскроем квадрат:

= sin²α + 2sinα · cosα + cos²α

Используем тригонометрическое тождество cos²α + sin²α = 1:

= 1 + 2sinα · cosα

Теперь у нас есть:

Левая сторона = 1 + 2sin⁴α - 2sin²α Правая сторона = 1 + 2sinα · cosα

Мы замечаем, что у нас есть 1 в обоих выражениях, и у нас также есть слагаемое 2sinα · cosα в правой стороне, которое также присутствует в левой стороне. Таким образом, левая сторона равна правой:

Левая сторона = Правая сторона 1 + 2sin⁴α - 2sin²α = 1 + 2sinα · cosα

Тождество доказано.