Question

Решите, пожалуйста 1. х+6     х-6 -------- - -------- х+1         х-1 2. При каких натуральных n дробь 7n2+4n+12 принимает натуральные значения? ---------------- n Даю 10 баллов

Answer 1

$1)~\dfrac{x+6}{x+1}-\dfrac{x-6}{x-1}=0\medskip\\\dfrac{\left(x+6\right)\left(x-1\right)-\left(x-6\right)\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=0\medskip\\\dfrac{x^2+5x-6-x^2+5x+6}{x^2-1}=0\medskip\\\dfrac{10x}{x^2-1}=0\medskip\\\begin{cases}x=0\\x\neq\pm1\end{cases}\Leftrightarrow x=0$

$2)~\dfrac{7n^2+4n+12}{n}=7n+4+\dfrac{12}{n}$

Очевидным образом, к первому слагаемому не прилагается никаких ограничений. А вот к последнему, в первую очередь, $n\neq 0$, но ноль нам не попадется т.к. ищем $n\in\mathbb{N}$. Нетрудно догадаться, что нужны $n\leqslant 12$, причём такие, что будут делить $12$.

Получаем - $n\in\left\{1;~2;~3;~4;~6;~12\right\}\subset\mathbb{N}$

Answer 2

Для решения первого уравнения, сначала найдем общий знаменатель и объединим дроби в одну:

1. $\frac{{x+6}}{{x-6}} - \frac{{x-1}}{{x+1}}$

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, нужно найти их общий знаменатель. Общим знаменателем для этих дробей является $(x-6)(x+1)(x+1)(x-6)$.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{{(x+6)(x+1)}}{{(x-6)(x+1)}} - \frac{{(x-1)(x-6)}}{{(x+1)(x-6)}}$

Теперь произведем вычитание дробей:

$\frac{{(x+6)(x+1) - (x-1)(x-6)}}{{(x-6)(x+1)}}$

Упростим числитель:

$(x+6)(x+1) - (x-1)(x-6) = x^2 + 7x + 6 - (x^2 - 7x + 6) = x^2 + 7x + 6 - x^2 + 7x - 6 = 14x$

Теперь у нас остается следующее уравнение:

$\frac{{14x}}{{(x-6)(x+1)}}$

Это выражение не может быть упрощено дальше, так как $14x$ не имеет общих множителей с $(x-6)(x+1)$.

Таким образом, ответ на первое уравнение: $\frac{{14x}}{{(x-6)(x+1)}}$

Для решения второго уравнения (вопроса) оценим, при каких натуральных $n$ дробь $\frac{{7n^2+4n+12}}{{n}}$ принимает натуральные значения.

Чтобы дробь принимала натуральные значения, числитель должен быть больше или равен знаменателю, и остаток должен быть равен нулю.

У нас есть дробь: $\frac{{7n^2+4n+12}}{{n}}$

Теперь сравним числитель с нулем: $7n^2+4n+12 \geq 0$

Это квадратное уравнение, и его дискриминант $D$ равен $4^2 - 4 \cdot 7 \cdot 12 = -224$. Так как $D < 0$, то уравнение не имеет действительных корней.

Теперь рассмотрим условие деления: $n \neq 0$ (поскольку мы не можем делить на ноль).

Итак, резюмируя, дробь $\frac{{7n^2+4n+12}}{{n}}$ примет натуральные значения только при ненулевых натуральных $n$.