Question

Доказать тождество : ( sin a+ cos a )^2 + (sin a cos a)^2=2 Пожалуйста,люди добрые

Answer 1

( sin a+ cos a )^2 + (sin a - cos a)^2=2

sin² a+2sin a cos a+ cos² a  +sin² a- 2sin a cos а + cos² a= 2

заметим , что sin² a+ cos² a =1

Answer 2

Давайте докажем данное тождество:

Выражение, которое нам предстоит доказать: $(\sin a + \cos a)^2 + (\sin a \cos a)^2 = 2$

Для начала раскроем квадрат нашего первого слагаемого:

$(\sin a + \cos a)^2 = (\sin a + \cos a)(\sin a + \cos a)$

Распишем это произведение:

$(\sin a + \cos a)^2 = \sin^2 a + \cos^2 a + 2 \sin a \cos a$

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$(\sin a + \cos a)^2 + (\sin a \cos a)^2 = (\sin^2 a + \cos^2 a + 2 \sin a \cos a) + (\sin a \cos a)^2$

Мы знаем, что $\sin^2 a + \cos^2 a = 1$ (тождество тригонометрии), подставим это в выражение:

$(\sin a + \cos a)^2 + (\sin a \cos a)^2 = 1 + 2 \sin a \cos a + (\sin a \cos a)^2$

Теперь обратим внимание на последнее слагаемое $(\sin a \cos a)^2$. Давайте вынесем из него общий множитель:

$(\sin a + \cos a)^2 + (\sin a \cos a)^2 = 1 + 2 \sin a \cos a + \sin^2 a \cos^2 a$

Мы замечаем, что $1 + \sin^2 a \cos^2 a$ равно 1 по тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, следовательно:

$(\sin a + \cos a)^2 + (\sin a \cos a)^2 = 1 + 2 \sin a \cos a + 1$

И наконец:

$(\sin a + \cos a)^2 + (\sin a \cos a)^2 = 2 + 2 \sin a \cos a$

Теперь, чтобы завершить доказательство, нам нужно показать, что $2 \sin a \cos a$ равно нулю. Но мы знаем, что произведение синуса и косинуса угла $a$ равно нулю для следующих значений угла $a$: $a = 0^\circ, a = 180^\circ, a = 360^\circ$, и так далее. В этих случаях оба слагаемых будут равны нулю, и тождество будет выполняться.

Таким образом, мы доказали, что данное тождество верно для всех значений угла $a$.

Итак, $(\sin a + \cos a)^2 + (\sin a \cos a)^2 = 2$ для любого значения угла $a$.