Question

Решите уравнение 4^(tg^2 x) + 2^(1/cos^2 x) = 80

Answer 1

$4^{\bigg{\text{tg}^{2}x}} + 2^{^{\dfrac{1}{\text{cos}^{2}x}}} = 80$

$2^{^{\dfrac{2}{\text{cos}^{2}x} \bigg{-2}}} + 2^{^{\dfrac{1}{\text{cos}^{2}x}}} - 80 = 0$

$\dfrac{2^{\bigg{\dfrac{2}{\text{cos}^{2}x}}}}{2^{2}} + 2^{^{\dfrac{1}{\text{cos}^{2}x}}} - 80 = 0$

Замена: $2^{^{\dfrac{1}{\text{cos}^{2}x}}} = t, \ t> 0$

$\dfrac{t^{2}}{4} + t - 80 = 0 \ \ \ \ \ \ \ | \cdotp 4$

$t^{2} + 4t - 320 = 0$

$t_{1} = -20$ — не удовлетворяет условию.

$t_{2} = 16$

Обратная замена:

$2^{^{\dfrac{1}{\text{cos}^{2}x}}} = 16$

$2^{^{\dfrac{1}{\text{cos}^{2}x}}} = 2^{4}$

$\dfrac{1}{\text{cos}^{2}x} = 4$

$4\text{cos}^{2}x = 1$

$\text{cos}^{2}x = \dfrac{1}{4}$

$\text{cos} \ x = \pm\sqrt{\dfrac{1}{4}} = \pm \dfrac{1}{2}$

$1) \ \text{cos} \ x = \dfrac{1}{2} \\\\x = \pm \text{arccos} \bigg(\dfrac{1}{2} \bigg) + 2\pi n, \ n \in Z \\\\x = \pm \dfrac{\pi}{3} + 2 \pi n, \ n \in Z$

$2) \ \text{cos} \ x = \dfrac{1}{2} \\\\x = \pm \text{arccos} \bigg(-\dfrac{1}{2} \bigg) + 2\pi k, \ k \in Z \\\\x = \pm \dfrac{2\pi}{3} + 2 \pi k, \ k \in Z$

Ответ: $x = \pm \dfrac{\pi}{3} + 2 \pi n, \ x = \pm \dfrac{2\pi}{3} + 2 \pi k, \ n \in Z, \ k \in Z.$

Answer 2

Для решения уравнения 4^(tg^2 x) + 2^(1/cos^2 x) = 80, давайте разберемся с ним по частям.

1. Рассмотрим первое слагаемое 4^(tg^2 x). Помним, что tg^2 x = (tg x)^2.

2. Рассмотрим второе слагаемое 2^(1/cos^2 x). Заметим, что 1/cos^2 x = sec^2 x.

Теперь перепишем уравнение с учетом вышеперечисленных замечаний:

4^((tg x)^2) + 2^(sec^2 x) = 80.

Теперь обратим внимание на числовые степени 4 и 2:

4 = 2^2, поэтому 4^((tg x)^2) можно переписать как (2^(tg x))^2.

Теперь уравнение принимает вид:

(2^(tg x))^2 + 2^(sec^2 x) = 80.

Теперь введем замену:

y = 2^(tg x).

Тогда уравнение примет вид:

y^2 + 2^(sec^2 x) = 80.

Для упрощения, решим уравнение относительно y:

y^2 = 80 - 2^(sec^2 x).

Теперь найдем значение y:

y = ±√(80 - 2^(sec^2 x)).

Теперь вернемся к исходной замене:

y = 2^(tg x).

2^(tg x) = ±√(80 - 2^(sec^2 x)).

Теперь возведем обе части уравнения в степень 2:

2^(2 * tg x) = 80 - 2^(sec^2 x).

Теперь выразим 2^(tg x) через 2^(sec^2 x):

2^(sec^2 x) + 2^(2 * tg x) = 80.

Помним, что sec^2 x = 1/cos^2 x. Подставим это обратно в уравнение:

2^(1/cos^2 x) + 2^(2 * tg x) = 80.

Теперь у нас есть уравнение с двумя неизвестными: tg x и cos x. На данном этапе можно попробовать найти численное приближение решений уравнения, используя численные методы, такие как метод Ньютона или метод половинного деления. При этом следует помнить, что тригонометрические уравнения могут иметь бесконечное количество решений в заданном интервале.

Если у вас есть конкретный интервал, в котором нужно найти решение, или какие-либо ограничения для переменных, пожалуйста, уточните, и я постараюсь помочь более точно.