Question

Доказать, что при а ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 выполняется неравенство: (а + 4)*(b + 1)*(c + 4)≥32√abc

Answer 1

Рассмотрим пару чисел a и 4. Согласно неравенству Коши выполняется неравенство (a + 4)/2 ≥√4a = 2√a. Соответственно для пары b и 1 получаем (b + 1)/2 ≥√b, а для пары c и 4 имеем (c + 4) ≥ √4c = 2√c. Далее перемножим эти три неравенства: ((a + 4)/2)*((b + 1)/2)*((c + 4)/2) ≥ 2√a*√b*2√c => (a + 4)(b + 1)(c + 4)/8 ≥ 4√abc => (a + 4)(b + 1)(c + 4) ≥ 32√abc. Неравенство доказано.

Answer 2

Докажем данное неравенство:

Нам дано, что a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0.

1. Рассмотрим первое слагаемое в левой части неравенства: (a + 4). По условию a ≥ 0, значит, (a + 4) ≥ 4. Это можно записать как (a + 4) ≥ √a.

2. Рассмотрим второе слагаемое в левой части неравенства: (b + 1). По условию b ≥ 0, значит, (b + 1) ≥ 1. Это можно записать как (b + 1) ≥ √b.

3. Рассмотрим третье слагаемое в левой части неравенства: (c + 4). По условию c ≥ 0, значит, (c + 4) ≥ 4. Это можно записать как (c + 4) ≥ √c.

Теперь умножим все три неравенства:

(a + 4) * (b + 1) * (c + 4) ≥ √a * √b * √c

Так как нам дано, что a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0, то √a, √b и √c также неотрицательны, и мы можем применить неравенство о произведении неотрицательных чисел:

√a * √b * √c ≤ √(abc)

Таким образом, получаем:

(a + 4) * (b + 1) * (c + 4) ≥ √a * √b * √c ≤ √(abc)

Мы знаем, что (a + 4) * (b + 1) * (c + 4) ≥ √(abc), но нам нужно доказать неравенство справа, чтобы сравнить оба выражения.

Воспользуемся тем, что при а ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 выполняется неравенство: √(abc) ≤ √a * √b * √c.

Теперь можем записать окончательное неравенство:

(a + 4) * (b + 1) * (c + 4) ≥ √(abc) ≤ √a * √b * √c

Исходное неравенство доказано.