Question

Розв‘яжіть рівняння ||4|x|-3|-2|=3

Answer 1

Немного пояснительной теории:

Равенства вида |f(x)| = g(x) решаются по следующей схеме:

[ f(x) = g(x)

[ f(x) = -g(x)

При этом g(x) > 0, иначе уравнение не имеет решений.

*квадратная скобка в математике значит "или"

Решение:

В правой части равенства находится константа, большая 0, значит, можем решать равенство по схеме:

[ |4|x| - 3| - 2 = 3

[ |4|x| - 3| - 2 = -3  ⇔

[ |4|x| - 3| = 5

[ |4|x| - 3| = -1   ⇔

*второе неравенство не имеет решений, т.к модуль не может принимать отрицательное значение

|4|x| - 3| = 5 ⇔

[ 4|x| - 3 = 5

[ 4|x| - 3 = -5 ⇔

[ 4|x| = 8

[ 4|x| = -2  ⇔

*и снова второе неравенство не имеет решений

⇔ 4|x| = 8 ⇔ |x| = 2 ⇔ x = ±2

Ответ: x = ±2

Answer 2

Давайте розв'яжемо рівняння ||4|x|-3|-2|=3:

1. Спершу розглянемо вираз всередині зовнішнього модуля: |4|x|-3|-2|

2. Розділимо його на два випадки, залежно від того, чи вираз всередині менше або дорівнює нулю, або чи він більше нуля:

   a) 4|x| - 3 - 2 = 3

   b) -(4|x| - 3 - 2) = 3

3. Розв'яжемо обидва випадки:

   a) 4|x| - 5 = 3

   b) -4|x| + 5 = 3

4. Тепер продовжимо з обидвома виразами:

   a) 4|x| = 8

   b) -4|x| = -2

5. Відокремимо модуль, знаючи, що |a| = a, якщо a ≥ 0, і |a| = -a, якщо a < 0:

   a) x = 2

   b) -4x = -2

6. Знайдемо значення x для другого випадку:

   -4x = -2

   Поділимо обидві сторони на -4 (зворотнє число до -4):

   x = 0.5

Таким чином, маємо два розв'язки: x = 2 і x = 0.5. Перевіримо обидва розв'язки, підставивши їх назад у вихідне рівняння:

1. При x = 2:

||4(2)|-3|-2| = |8-3-2| = |3| = 3 (справедливо)

2. При x = 0.5:

||4(0.5)|-3|-2| = |2-3-2| = |-3| = 3 (справедливо)

Обидва розв'язки підходять, тому x = 2 і x = 0.5 є відповіддю на дане рівняння.