Question

Разложить на множители 2x^3-x^2–5x-2

Answer 1

x^2(2x-1)-5x-2

\\\\\\\\\\\\\\

Answer 2

Для разложения многочлена на множители, нам нужно найти его корни. Начнем с поиска рациональных корней, используя рациональный корневой теоремы (Rational Root Theorem).

Рациональный корневой теорема гласит, что если многочлен с целыми коэффициентами имеет рациональный корень, то он будет иметь вид p/q, где p - делитель свободного члена (константы), а q - делитель старшего коэффициента.

У нашего многочлена 2x^3 - x^2 - 5x - 2 старший коэффициент равен 2, а свободный член равен -2.

Теперь найдем все делители -2: Делители -2: ±1, ±2

Теперь найдем все делители 2: Делители 2: ±1, ±2

Поискав среди всех комбинаций этих делителей, мы можем найти возможные рациональные корни: x = ±1, x = ±2

Теперь проверим каждое из этих значений, подставив их в исходный многочлен:

1. Подстановка x = 1: 2(1)^3 - (1)^2 - 5(1) - 2 = 2 - 1 - 5 - 2 = -6 ≠ 0

2. Подстановка x = -1: 2(-1)^3 - (-1)^2 - 5(-1) - 2 = -2 - 1 + 5 - 2 = 0 (корень)

3. Подстановка x = 2: 2(2)^3 - (2)^2 - 5(2) - 2 = 16 - 4 - 10 - 2 = 0 (корень)

4. Подстановка x = -2: 2(-2)^3 - (-2)^2 - 5(-2) - 2 = -16 - 4 + 10 - 2 = -12 ≠ 0

Мы нашли два рациональных корня: x = -1 и x = 2.

Теперь разложим многочлен на множители, используя эти корни.

При x = -1: Мы знаем, что (x + 1) является множителем. Таким образом, мы можем разделить исходный многочлен на (x + 1) с помощью деления с остатком:

(2x^3 - x^2 - 5x - 2) ÷ (x + 1)

Результат деления: 2x^2 - 3x + 2

Теперь многочлен 2x^2 - 3x + 2 не имеет рациональных корней, поэтому он уже является неприводимым многочленом.

Итак, разложение на множители исходного многочлена: 2x^3 - x^2 - 5x - 2 = (x + 1)(2x^2 - 3x + 2)