Question

Известны функции цены p(Q)=14-2Q и функция издержек TC(Q)=0,2Q^2+3Q+9. Найти цену, при которой максимальна прибыль, и величину максимальной прибыли.

Answer 1

Прибыль = выручка - издержки, т. е. $Q(14-2Q)-(0,2Q^2+3Q+9)=-2,2Q^2+11Q-9$

Данная функция - парабола, ветви которой направлены вниз. Значит, максимальное значение достигается в её вершине.

$Q_{0}=-\frac{b}{2a}=\frac{-11}{-4,4}=2,5$

Тогда нужная цена: $p(-2,5)=14-2*2,5=9$

Максимальная прибыль: $-2,2*2,5^2+11*2,5+5=4,75$

Ответ: цена равна 9, максимальная прибыль равна 4,75

Answer 2

Для определения цены, при которой максимальна прибыль, нужно найти максимум функции прибыли.

Прибыль (π) определяется как разница между выручкой (R) и издержками (TC):

$\pi(Q) = R(Q) - TC(Q)$

Выручка (R) равна произведению цены (p) и количества товара (Q):

$R(Q) = p(Q) \cdot Q$

Подставим функцию цены $p(Q) = 14 - 2Q$ в выражение для выручки:

$R(Q) = (14 - 2Q) \cdot Q = 14Q - 2Q^2$

Теперь можем записать функцию прибыли (π):

$\pi(Q) = (14Q - 2Q^2) - (0.2Q^2 + 3Q + 9)$

Упростим выражение:

$\pi(Q) = 14Q - 2Q^2 - 0.2Q^2 - 3Q - 9$ $\pi(Q) = -2.2Q^2 + 11Q - 9$

Теперь найдем точку максимума, где производная прибыли равна нулю:

$\frac{d\pi}{dQ} = -4.4Q + 11 = 0$

$-4.4Q = -11$

$Q = \frac{-11}{-4.4} \approx 2.5$

Таким образом, количество товара, при котором достигается максимальная прибыль, составляет около 2.5 единиц.

Теперь найдем соответствующую цену, подставив значение Q в функцию цены:

$p(Q) = 14 - 2Q$ $p(2.5) = 14 - 2 \cdot 2.5$ $p(2.5) = 14 - 5 = 9$

Таким образом, цена, при которой максимальна прибыль, составляет 9 единиц.

Наконец, найдем величину максимальной прибыли. Подставим найденное значение Q в функцию прибыли:

$\pi(Q) = -2.2Q^2 + 11Q - 9$ $\pi(2.5) = -2.2 \cdot (2.5)^2 + 11 \cdot 2.5 - 9$ $\pi(2.5) = -2.2 \cdot 6.25 + 27.5 - 9$ $\pi(2.5) = -13.75 + 27.5 - 9$ $\pi(2.5) = 4.75$

Таким образом, максимальная прибыль составляет 4.75 единицы.