Question

Найти неопределенный интеграл х^5*(2+3х)^2

Answer 1

Щазаххв ыьыхъыъыъыхч аьвхһчһс

Answer 2

Для нахождения неопределенного интеграла $\int x^5 \cdot (2 + 3x)^2 \, dx$, мы применим метод замены переменной.

Пусть $u = 2 + 3x$. Тогда $du/dx = 3$ или $dx = du/3$. Подставим это в исходный интеграл:

$\int x^5 \cdot (2 + 3x)^2 \, dx = \int x^5 \cdot u^2 \cdot (du/3)$.

Теперь возведем $u$ в квадрат:

$\int x^5 \cdot u^2 \cdot (du/3) = \frac{1}{3} \int x^5 \cdot u^2 \, du$.

Теперь проинтегрируем от $u^2$:

$\frac{1}{3} \int x^5 \cdot u^2 \, du = \frac{1}{3} \int x^5 \cdot (2 + 3x)^2 \, du$.

Теперь заменим обратно $u = 2 + 3x$:

$\frac{1}{3} \int x^5 \cdot (2 + 3x)^2 \, du = \frac{1}{3} \int x^5 \cdot u^2 \, du = \frac{1}{3} \int x^5 \cdot (2 + 3x)^2 \, dx$.

Таким образом, мы получили интеграл в исходной переменной. Теперь остается только проинтегрировать $x^5 \cdot (2 + 3x)^2$ относительно $x$.

Давайте раскроем скобки $(2 + 3x)^2$:

$(2 + 3x)^2 = 4 + 12x + 9x^2$.

Теперь умножим $x^5$ на это:

$x^5 \cdot (2 + 3x)^2 = x^5 \cdot (4 + 12x + 9x^2) = 4x^5 + 12x^6 + 9x^7$.

Теперь проинтегрируем это:

$\frac{1}{3} \int x^5 \cdot (2 + 3x)^2 \, dx = \frac{1}{3} \int (4x^5 + 12x^6 + 9x^7) \, dx$.

Теперь интегрируем каждый член отдельно:

$\frac{1}{3} \int (4x^5 + 12x^6 + 9x^7) \, dx = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{4x^6}{6} + \frac{12x^7}{7} + \frac{9x^8}{8}\right) + C$.

где $C$ - п