Question

Помогите пожалуйста!!!! Записать функцию y=x^sinx в виде суперпозиции основных элементарных функций.

Answer 1

$y=x^{\sin x}=e^{\ln x^{\sin x}}=e^{\sin x\cdot \ln x}$

Answer 2

Конечно, помогу! Для записи функции y = x^sin(x) в виде суперпозиции основных элементарных функций, мы можем использовать несколько шагов. Давайте начнем.

1. Представим функцию степенной функцией: y = x^sin(x) = exp(ln(x^sin(x))) = exp(sin(x) * ln(x))

2. Воспользуемся определением экспоненты: exp(a * b) = exp(a)^b, тогда y = exp(sin(x) * ln(x)) = (exp(sin(x)))^(ln(x))

3. Представим sin(x) через экспоненты: sin(x) = (exp(ix) - exp(-ix)) / (2i), где i - мнимая единица.

4. Подставим выражение для sin(x) в функцию y: y = (exp((exp(ix) - exp(-ix)) / (2i)))^(ln(x))

5. Раскроем скобки в exp((exp(ix) - exp(-ix)) / (2i)): y = (exp(exp(ix)/2i - exp(-ix)/2i))^(ln(x))

6. Используем свойство exp(a - b) = exp(a) / exp(b): y = (exp(exp(ix)/2i) / exp(exp(-ix)/2i))^(ln(x))

7. Заменим exp(ix) и exp(-ix) через cos(x) и sin(x) (формулы Эйлера): y = (exp(cos(x) + isin(x))/2i) / exp(cos(x) - isin(x))/2i)^(ln(x))

8. Упростим дробь, умножив числитель и знаменатель на (-2i): y = (-2i * exp(cos(x) + isin(x))) / (-2i * exp(cos(x) - isin(x)))^(ln(x))

9. Сократим -2i в числителе и знаменателе: y = (exp(cos(x) + isin(x))) / (exp(cos(x) - isin(x)))^(ln(x))

10. Воспользуемся свойством exp(a) * exp(b) = exp(a + b): y = (exp(cos(x) + isin(x))) / exp((cos(x) - isin(x)) * ln(x))

11. Разделим множители в числителе: y = exp(cos(x) + isin(x)) / exp(ln(x) * (cos(x) - isin(x)))

12. Используем определение комплексной экспоненты exp(ix) = cos(x) + isin(x): y = exp(cos(x) + isin(x)) / exp(ln(x) * cos(x) - i*ln(x)*sin(x))

13. Применим определение exp(a) / exp(b) = exp(a - b): y = exp(cos(x) + i*sin(x) - ln(x)cos(x) + iln(x)*sin(x))

14. Разделим функцию на вещественную и мнимую части: y = exp(cos(x) - ln(x)cos(x)) * exp(isin(x) + i*ln(x)*sin(x))

15. Для мнимой экспоненты exp(i*z) используем формулу Эйлера: y = exp(cos(x) - ln(x)*cos(x)) * (cos(sin(x) + ln(x)sin(x)) + isin(sin(x) + ln(x)*sin(x)))

Таким образом, функцию y = x^sin(x) можно представить в виде суперпозиции основных элементарных функций:

y = exp(cos(x) - ln(x)*cos(x)) * (cos(sin(x) + ln(x)sin(x)) + isin(sin(x) + ln(x)*sin(x)))