Question

Найдите: а) y'(x); б) y'(16), если y(x) = ⁴√x (корень в 4-ой степени из x) ___ Найдите наибольшее и наименьшее значение функции у(х) = (-2x)/(x²+1)

Answer 1

у'(х)=1/4*х^(-3/4)=1/4*х^(3/4)=1/4*корень 4степени из х в 3 степени

у'(16)=1/4*корень 4 степени из 16 в кубе=1/4*2*2*2=1/32

у'(х)=(-2х^2-2+4х^2)/(х^2+1)^2=(2х^2-2)/(х^2+1)^2

у'(х)=0

вся дробь=0, тогда 2х^2-2=0

2х^2=2

х^2=1

х=1 х=-1 -критические точки

у(1)=-1-min

y(-1)=1 -max

Answer 2

а) Чтобы найти производную y'(x) функции y(x) = ⁴√x, мы будем использовать правило дифференцирования степенной функции.

Правило дифференцирования степенной функции: Если y(x) = x^n, где n - это константа, то y'(x) = n * x^(n-1).

В нашем случае n = 1/4 (потому что корень в 4-ой степени эквивалентен возведению в степень 1/4).

Таким образом, y'(x) = (1/4) * x^(1/4 - 1) = (1/4) * x^(-3/4) = 1/(4 * ⁴√(x^3)).

б) Теперь давайте найдем значение y'(16):

y'(x) = 1/(4 * ⁴√(x^3)).

y'(16) = 1/(4 * ⁴√(16^3)) = 1/(4 * ⁴√4096) = 1/(4 * 8) = 1/32.

Ответ: а) y'(x) = 1/(4 * ⁴√(x^3)). б) y'(16) = 1/32.

---

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции y(x) = (-2x)/(x²+1), следует использовать методы дифференциального исчисления.

1. Найдем критические точки функции: Критические точки возникают там, где производная равна нулю или не существует.

y(x) = (-2x)/(x²+1)

y'(x) = (d/dx)((-2x)/(x²+1))

Применим правило дифференцирования частного и цепного правила:

y'(x) = [(x²+1)(d/dx)(-2x) - (-2x)(d/dx)(x²+1)] / (x²+1)²

y'(x) = [(x²+1)(-2) - (-2x)(2x)] / (x²+1)²

y'(x) = [-2x² - 2 + 4x²] / (x²+1)²

y'(x) = (2x² - 2) / (x²+1)²

Теперь найдем критические точки, приравнивая производную к нулю и решая уравнение:

2x² - 2 = 0

2x² = 2

x² = 1

x = ±√1

Таким образом, у нас есть две критические точки: x = 1 и x = -1.

2. Проверим значения функции в критических точках и на бесконечностях: а) x = 1: y(1) = (-2 * 1) / (1² + 1) = -2/2 = -1

б) x = -1: y(-1) = (-2 * -1) / ((-1)² + 1) = 2/2 = 1

в) При x -> ±∞: Когда x стремится к положительной или отрицательной бесконечности, то и y(x) будет стремиться к 0. Это можно понять, рассмотрев степени в числителе и знаменателе функции.

Таким образом, у нас есть следующие значения: Наибольшее значение: 1 (при x = -1) Наименьшее значение: -1 (при x = 1)