Question

Помогите Пожалуйста СРОЧНО нужно: 4^x+2^x+1 меньше или равно 3... ПОЖАЛУЙСТА ПОМОГИТЕ..)

Answer 1

${4}^{x} + {2}^{x} + 1 \leqslant 3$
4^х= 2^(2х)
Сделаем замену, Замена :
${2}^{x} = t$
t²+t+1-3≤0
t²+t-2≤0
D= 1+8=9
t1= (-1+3)/2=1
t2= (-1-3)/2=-2
Вернёмся к замене:
${2}^{x} = 1 \\ {2}^{x} = - 2$
2^х ≠ -2 т.к положительное число в любой степени не может быть отрицательным
${2}^{x} = 1 \\ {2}^{x} = {2}^{0} \\ x = 0$
Ответ: х=0

Answer 2

Давайте решим данное неравенство:

$4^x + 2^x + 1 \leq 3$

Сначала перенесем все слагаемые на одну сторону:

$4^x + 2^x + 1 - 3 \leq 0$

Упростим:

$4^x + 2^x - 2 \leq 0$

Теперь давайте воспользуемся заменой переменной для удобства. Пусть $y = 2^x$. Тогда у нас получится:

$y^2 + y - 2 \leq 0$

Теперь решим квадратное неравенство. Сначала найдем корни уравнения $y^2 + y - 2 = 0$:

$(y - 1)(y + 2) = 0$

Отсюда $y = 1$ или $y = -2$.

Теперь построим таблицу знаков:

$$\begin{array}{c|ccc} & y^2 & +y & -2 \\ \hline y < -2 & + & - & - \\ -2 < y < 1 & + & + & - \\ y > 1 & + & + & + \end{array}$$

Теперь нас интересует, когда $y^2 + y - 2 \leq 0$, то есть когда функция меньше или равна нулю. Мы видим, что это происходит при $-2 \leq y \leq 1$.

Теперь вернемся к замене $y = 2^x$. Получаем:

$-2 \leq 2^x \leq 1$

Теперь уберем отрицательное значение, подходящее нам только положительное:

$2^x \leq 1$

Теперь можем записать в виде неравенства с основанием 2:

$2^x \leq 2^0$

Так как $a^x \leq a^y$ для $0 \leq x \leq y$, мы имеем:

$x \leq 0$

Таким образом, решением данного неравенства будет $x \leq 0$.