Question

Sin(x+1)+cos2x производная высшего порядка n помогите найти

Answer 1

Последовательно вычислим производные первых порядков:

$f(x)=\sin(x+1)+\cos2x\\f'(x)=\cos(x+1)-2\sin2x\\f''(x)=-\sin(x+1)-4\cos2x\\f^{(3)}(x)=-\cos(x+1)+8\sin2x\\f^{(4)}(x)=\sin(x+1)+16\cos2x$

Что мы видим? Синусы и косинусы сменяют друг друга и во втором слагаемом накручивается степень двойки. Чтобы синусы и косинусы так менялись, нужно использовать формулы приведения. С двойкой все ясно. Теперь легко получить формулу для производной порядка n:

$f^{(n)}(x)=\sin\left(\frac{\pi n}{2} +(x+1)\right)+2^n\cos\left(\frac{\pi n}{2} +2x\right)$

Answer 2

Для нахождения производной высшего порядка $n$ функции $f(x) = \sin(x+1) + \cos(2x)$ нам нужно продифференцировать функцию $n$ раз. Воспользуемся правилами дифференцирования элементарных функций:

1. Производная синуса: $\frac{d}{dx} \sin(x) = \cos(x)$
2. Производная косинуса: $\frac{d}{dx} \cos(x) = -\sin(x)$

Также, для производной сложной функции, применим правило дифференцирования сложной функции (chain rule):

Правило сложной функции: Если у нас есть функция $u(x)$ и функция $v(u)$, то производная $v(u(x))$ по $x$ равна произведению производной $v(u)$ по $u$ и производной $u(x)$ по $x$.

Теперь вычислим производные:

Первая производная: $f'(x) = \frac{d}{dx} (\sin(x+1)) + \frac{d}{dx} (\cos(2x)) = \cos(x+1) - 2\sin(2x)$

Вторая производная: $f''(x) = \frac{d}{dx} (\cos(x+1)) - \frac{d}{dx} (2\sin(2x)) = -\sin(x+1) - 4\cos(2x)$

Третья производная: $f'''(x) = \frac{d}{dx} (-\sin(x+1)) - \frac{d}{dx} (4\cos(2x)) = -\cos(x+1) + 8\sin(2x)$

Четвертая производная: $f''''(x) = \frac{d}{dx} (-\cos(x+1)) + \frac{d}{dx} (8\sin(2x)) = \sin(x+1) + 16\cos(2x)$

И так далее. Мы можем продолжить процесс дифференцирования, чтобы получить производные высших порядков $n$.