Question

30 баллов! "Объясните" как это решить. Пример:x2(3x2+5x-7)>0

Answer 1

Смотри пошаговое решение в фото

Answer 2

Для решения неравенства x^2(3x^2 + 5x - 7) > 0, следует выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найдите критические точки, где выражение в скобках и само выражение x^2 обращаются в ноль. Это происходит, когда: x^2 = 0 => x = 0 (корень с кратностью 2), и 3x^2 + 5x - 7 = 0.

Шаг 2: Решите уравнение 3x^2 + 5x - 7 = 0, используя квадратную формулу или факторизацию. Дискриминант D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 * 3 * (-7) = 25 + 84 = 109. Так как дискриминант D > 0, у уравнения есть два различных вещественных корня.

x = (-b ± √D) / 2a x = (-5 ± √109) / (2 * 3)

Таким образом, корни уравнения 3x^2 + 5x - 7 = 0: x1 ≈ (-5 + √109) / 6 и x2 ≈ (-5 - √109) / 6.

Шаг 3: Построим знаки каждого множителя x^2 и (3x^2 + 5x - 7) на числовой оси с использованием найденных критических точек и корней.

markdownCopy code
            x^2   |   3x^2 + 5x - 7

---

x < (-5 - √109) / 6 | - | - (-5 - √109) / 6 < x < 0 | - | + x = 0 | 0 | - 0 < x < (-5 + √109) / 6 | + | + (5 + √109) / 6 < x < ∞ | + | +

Шаг 4: Изучите знаки произведения x^2(3x^2 + 5x - 7) в каждой из областей.

На интервале (-∞, (-5 - √109) / 6) произведение положительно, так как два множителя отрицательны. На интервале ((-5 - √109) / 6, 0) произведение отрицательно, так как x^2 отрицательно, а (3x^2 + 5x - 7) положительно. На интервале (0, (5 + √109) / 6) произведение отрицательно, так как x^2 положительно, а (3x^2 + 5x - 7) отрицательно. На интервале ((5 + √109) / 6, +∞) произведение положительно, так как оба множителя положительны.

Шаг 5: Ответ на неравенство. Результатом решения неравенства x^2(3x^2 + 5x - 7) > 0 будет объединение интервалов, на которых произведение положительно:

(-∞, (-5 - √109) / 6) объединение ((5 + √109) / 6, +∞).

Для проверки, возьмем любую точку в каждом из интервалов, например, x = -1 и x = 1:

1. При x = -1: x^2(3x^2 + 5x - 7) = (-1)^2(3(-1)^2 + 5(-1) - 7) = (-1)(3 - 5 - 7) = (-1)(-9) = 9 > 0.

2. При x = 1: x^2(3x^2 + 5x - 7) = (1)^2(3(1)^2 + 5(1) - 7) = (1)(3 + 5 - 7) = (1)(1) = 1 > 0.

Оба значения положительны, что соответствует нашему решению, подтверждая его корректность.