Question

Доведіть що: 5 в 31 степені - 25 в 15 степені ділиться на 20

Answer 1

5^(31)-25^(15)=5^(31)-5^(30)=

5^(30)*(5-1)=5^(29)*5*4

5^(29)*20/20=5^29

Answer 2

Давайте розглянемо обидві частини виразу та перевіримо, чи ділиться різниця на 20:

1. Перша частина: 5 в 31 степені.

2. Друга частина: 25 в 15 степені.

Зрозуміло, що 5 в 31 степені - це дуже велике число, а 25 в 15 степені теж буде великим числом. Обидва числа будуть складними для обчислень на практиці.

Та, щоб довести, що різниця ділиться на 20, нам не потрібно обчислювати самі числа. Ми можемо скористатися свойствами ділення та степенів.

Свойство степеня: (a^m) - (b^m) ділиться на (a - b).

Таким чином, якщо ми покажемо, що (5^31 - 25^15) ділиться на (5 - 25), або, інакше кажучи, на -20, то це доведе, що вираз ділиться на 20.

Ми можемо спростити вираз (5^31 - 25^15) наступним чином:

(5^31 - 25^15) = (5^31 - (5^2)^15) = 5^31 - 5^30

Тепер ми бачимо, що обидві частини є степенями числа 5 з різними показниками, тобто (5^31) має більший показник, ніж (5^30). Із свойства степенів (a^m) - (a^n) = a^n * (a^(m-n)), ми можемо виразити це як:

(5^31 - 5^30) = 5^30 * (5^(31-30)) = 5^30 * 5^1 = 5^31

Тепер ми отримали вираз 5^31, який ми вже знаємо. Ми знаємо, що 5^31 ділиться на 5, оскільки будь-яке число, піднесене до першої степені, залишається незмінним.

Але щоб дізнатися, чи ділиться 5^31 на -20, нам потрібно врахувати знак. Так як множення на від'ємне число змінює знак числа, отримаємо:

5^31 = - (|5^31|) = - (5^31)

Таким чином, ми бачимо, що 5^31 від'ємне число, яке ділиться на -20, оскільки мінус помножене на будь-яке число є від'ємним числом.

Отже, ми довели, що (5^31 - 25^15) ділиться на 20.